与えられた連立方程式を解きます。 $x^2 + y^2 = 6$ ...(1) $x + y + xy = 1$ ...(2)

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を解きます。

$x^2 + y^2 = 6$ ...(1)

$x + y + xy = 1$ ...(2)

2. 解き方の手順

(2)式を変形して、$x+y = 1-xy$を得ます。

ここで、$x+y = s, xy = t$とおくと、

$s = 1-t$ ...(3)

(1)式を変形すると、

$(x+y)^2 - 2xy = 6$

$s^2 - 2t = 6$ ...(4)

(3)式を(4)式に代入すると、

$(1-t)^2 - 2t = 6$

$1 - 2t + t^2 - 2t = 6$

$t^2 - 4t - 5 = 0$

$(t-5)(t+1) = 0$

よって、$t=5$ または $t=-1$

(i) $t=5$のとき、(3)式より$s = 1-5 = -4$

$x, y$ は $u^2 - su + t = 0$ すなわち $u^2 + 4u + 5 = 0$ の解である。

$u = \frac{-4 \pm \sqrt{16-20}}{2} = \frac{-4 \pm 2i}{2} = -2 \pm i$

よって、$(x, y) = (-2+i, -2-i), (-2-i, -2+i)$

(ii) $t=-1$のとき、(3)式より$s = 1-(-1) = 2$

$x, y$ は $u^2 - su + t = 0$ すなわち $u^2 - 2u - 1 = 0$ の解である。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

よって、$(x, y) = (1+\sqrt{2}, 1-\sqrt{2}), (1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2})$

3. 最終的な答え

$(x, y) = (1+\sqrt{2}, 1-\sqrt{2}), (1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2}), (-2+i, -2-i), (-2-i, -2+i)$