(1) 整式 $2x^2-1$ で割ると商が $3x^2+2x-4$ であり、余りが $x+3$ である整式Aを求める。 (2) 整式 $x^4+1$ を割ると商が $x^2-x$ であり、余りが $x+1$ である整式Bを求める。

1. 問題の内容

(1) 整式 $2x^2-1$ で割ると商が $3x^2+2x-4$ であり、余りが $x+3$ である整式Aを求める。

(2) 整式 $x^4+1$ を割ると商が $x^2-x$ であり、余りが $x+1$ である整式Bを求める。

2. 解き方の手順

(1)

整式Aは、割る式、商、余りの関係から次のように表せる。

$A = (2x^2-1)(3x^2+2x-4) + (x+3)$

これを展開して整理する。

$A = 6x^4+4x^3-8x^2-3x^2-2x+4 + x+3$

$A = 6x^4+4x^3-11x^2-x+7$

(2)

整式Bは、割る式、商、余りの関係から次のように表せる。

$x^4 + 1 = B(x^2-x) + (x+1)$

これを変形すると

$B(x^2 - x) = x^4 + 1 - (x+1)$

$B(x^2 - x) = x^4 - x$

両辺を $x^2 - x$ で割ると、

$B = \frac{x^4 - x}{x^2 - x}$

$B = \frac{x(x^3 - 1)}{x(x - 1)}$

$B = \frac{x^3 - 1}{x - 1}$

$B = \frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{x - 1}$

$B = x^2 + x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $A = 6x^4+4x^3-11x^2-x+7$

(2) $B = x^2+x+1$