$5 + \sqrt{2}$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求める問題です。 (1) $a$ と $b$ (2) $b + \frac{1}{b}$ と $b^2 + \frac{1}{b^2}$

1. 問題の内容

$5 + \sqrt{2}$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求める問題です。

(1) $a$ と $b$

(2) $b + \frac{1}{b}$ と $b^2 + \frac{1}{b^2}$

2. 解き方の手順

(1) $a$ と $b$ を求める。

まず、$\sqrt{2}$ の近似値を考えます。$\sqrt{2} \approx 1.414$ であることから、$5 + \sqrt{2} \approx 5 + 1.414 = 6.414$ となります。

したがって、$5 + \sqrt{2}$ の整数部分は $a = 6$ となります。

小数部分 $b$ は、$b = (5 + \sqrt{2}) - a = (5 + \sqrt{2}) - 6 = \sqrt{2} - 1$ となります。

(2) $b + \frac{1}{b}$ と $b^2 + \frac{1}{b^2}$ を求める。

まず、$b + \frac{1}{b}$ を計算します。

$b = \sqrt{2} - 1$ なので、$\frac{1}{b} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ となります。

$\frac{1}{b}$ を有理化すると、$\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$ となります。

したがって、$b + \frac{1}{b} = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} + 1) = 2\sqrt{2}$ となります。

次に、$b^2 + \frac{1}{b^2}$ を計算します。

$(b + \frac{1}{b})^2 = b^2 + 2 + \frac{1}{b^2}$ であるから、$b^2 + \frac{1}{b^2} = (b + \frac{1}{b})^2 - 2$ となります。

$b + \frac{1}{b} = 2\sqrt{2}$ なので、$(b + \frac{1}{b})^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8$ となります。

したがって、$b^2 + \frac{1}{b^2} = 8 - 2 = 6$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a = 6$, $b = \sqrt{2} - 1$

(2) $b + \frac{1}{b} = 2\sqrt{2}$, $b^2 + \frac{1}{b^2} = 6$