連立不等式 $\begin{cases} x^2 - 2x - 4 \ge 0 \\ -x^2 - x + 6 > 0 \end{cases}$ を解け。

1. 問題の内容

連立不等式

$\begin{cases}

x^2 - 2x - 4 \ge 0 \\

-x^2 - x + 6 > 0

\end{cases}$

を解け。

2. 解き方の手順

まず、一つ目の不等式 $x^2 - 2x - 4 \ge 0$ を解く。

解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4+16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

したがって、$x \le 1-\sqrt{5}, x \ge 1+\sqrt{5}$ である。

次に、二つ目の不等式 $-x^2 - x + 6 > 0$ を解く。

両辺に-1を掛けて符号を反転させると、

$x^2 + x - 6 < 0$

$(x+3)(x-2) < 0$

したがって、$-3 < x < 2$ である。

最後に、二つの不等式の解の共通範囲を求める。

$1-\sqrt{5} \approx 1 - 2.236 = -1.236$

$1+\sqrt{5} \approx 1 + 2.236 = 3.236$

したがって、$x \le 1-\sqrt{5}, x \ge 1+\sqrt{5}$ と $-3 < x < 2$ の共通範囲は、

$-3 < x \le 1-\sqrt{5}$ である。

3. 最終的な答え

$-3 < x \le 1-\sqrt{5}$