一辺が24cmの正方形の厚紙の四隅から、一辺が $x$ cmの正方形を切り取り、ふたのない直方体の箱を作る。箱の容積を $y$ cm³とする。 (1) $x$ の値の範囲を求める。 (2) $y$ を $x$ の式で表す。 (3) (1)で求めた範囲における増減表を完成させる。

1. 問題の内容

一辺が24cmの正方形の厚紙の四隅から、一辺が $x$ cmの正方形を切り取り、ふたのない直方体の箱を作る。箱の容積を $y$ cm³とする。

(1) $x$ の値の範囲を求める。

(2) $y$ を $x$ の式で表す。

(3) (1)で求めた範囲における増減表を完成させる。

2. 解き方の手順

(1) $x$ の範囲

$x$ は正の数である必要があり、また、切り取る正方形の一辺の長さは、元の正方形の一辺の長さの半分より小さくなければならない。したがって、$0 < x < 12$ となる。

(2) $y$ を $x$ の式で表す

箱の底面の縦と横の長さは $24 - 2x$ cm、高さは $x$ cmなので、箱の容積 $y$ は次の式で表される。

$$y = x(24 - 2x)^2$$

$$y = x(576 - 96x + 4x^2)$$

$$y = 4x^3 - 96x^2 + 576x$$

(3) 増減表の作成

$y = 4x^3 - 96x^2 + 576x$ を $x$ で微分すると、

$$y' = 12x^2 - 192x + 576$$

$y' = 0$ となる $x$ を求める。

$$12x^2 - 192x + 576 = 0$$

$$x^2 - 16x + 48 = 0$$

$$(x - 4)(x - 12) = 0$$

$x = 4, 12$

ここで、$0 < x < 12$ より、$x = 4$ のみ考える。

$x=4$の時、$y'=0$となり、$x<4$のとき$y'>0$, $x>4$のとき、$y'<0$となるので、$x=4$で極大値をとる。

$x = 4$のときの $y$ の値は、

$$y = 4(4)^3 - 96(4)^2 + 576(4)$$

$$y = 4(64) - 96(16) + 576(4)$$

$$y = 256 - 1536 + 2304$$

$$y = 1024$$

したがって、増減表は以下のようになる。

| x | 0 | ... | 4 | ... | 12 |

|---|---|---|---|---|---|

| y' | | + | 0 | - | |

| y | | ↗ | 1024 | ↘ | |

3. 最終的な答え

(1) $0 < x < 12$

(2) $y = 4x^3 - 96x^2 + 576x$

(3) ウに当てはまる値: 4

エに当てはまる値: 1024