A町とB町は15km離れており、バスが時速45kmで往復しています。バスは各町に着くたびに8分停車します。田中さんはA町を10時に出発し、歩いてB町へ向かいます。グラフはバスと田中さんの出発してからの時刻と道のりを示しています。田中さんが出発後、最初にバスとすれ違ったのはA町から何kmのところでしょうか。

1. 問題の内容

A町とB町は15km離れており、バスが時速45kmで往復しています。バスは各町に着くたびに8分停車します。田中さんはA町を10時に出発し、歩いてB町へ向かいます。グラフはバスと田中さんの出発してからの時刻と道のりを示しています。田中さんが出発後、最初にバスとすれ違ったのはA町から何kmのところでしょうか。

2. 解き方の手順

まず、バスがA町からB町まで、またはB町からA町までにかかる時間を計算します。

$時間 = 距離 / 速度$なので、

$時間 = 15km / 45km/時 = 1/3 時間 = 20分$

グラフを見ると、バスは10時にA町を出発し、20分後の10時20分にB町に到着します。

B町で8分停車するので、10時28分にB町を出発します。

田中さんとバスが最初に出会う時間を求めます。田中さんの進む速さを $v$ km/時とします。出会う場所をA町から$x$ km地点とすると、

田中さんが $x$ km進むのにかかる時間は $x/v$ 時間です。

バスは10時にA町を出発してB町に向かい、8分間停車後、10時28分にB町を出発してA町に向かいます。

バスがB町を出発してから田中さんと出会うまでにかかる時間は $x/v$ 時間から、バスがA町を出発してからB町を出発するまでの時間（20分 + 8分 = 28分 = $28/60 = 7/15$時間）を引いた時間になります。

バスが移動した距離は $15 - x$ km なので、

$(x/v - 7/15) = (15-x)/45$

田中さんの速度をグラフから読み取ります。田中さんは最終的にバスがA町に着くのと同時にB町に着きます。グラフから、田中さんがB町に着くのは12時40分ごろです。したがって、田中さんは2時間40分(160分 = $8/3$時間)かけて15km歩いたことになります。

田中さんの速さは $v = 15/(8/3) = 45/8$ km/時となります。

$(x/(45/8) - 7/15) = (15-x)/45$

$(8x/45 - 7/15) = (15-x)/45$

$8x/45 - 21/45 = (15-x)/45$

$8x - 21 = 15 - x$

$9x = 36$

$x = 4$

3. 最終的な答え

4 km