吉田さんとお兄さんが同じ学校に通っています。ある朝、吉田さんがお兄さんより先に家を出発し、学校にも吉田さんの方が先に到着しました。グラフは、吉田さんが家を出てからの時間と2人の間の道のりを表しています。家から学校までの道のりは何mですか。

1. 問題の内容

吉田さんとお兄さんが同じ学校に通っています。ある朝、吉田さんがお兄さんより先に家を出発し、学校にも吉田さんの方が先に到着しました。グラフは、吉田さんが家を出てからの時間と2人の間の道のりを表しています。家から学校までの道のりは何mですか。

2. 解き方の手順

グラフは、吉田さんとお兄さんの間の距離を表しています。吉田さんが家を出発してから7分後に二人の距離が最大（490m）になり、12分後に420mになっています。その後、二人の距離は減少し、最終的に0mになります。グラフがx軸と交わる点が、二人が同時に学校に到着した時間です。

グラフの最後の線は、時間12分で距離420mから始まり、x軸と交わるところまで直線で引かれています。この直線の傾きを計算し、x軸との交点を求めます。

傾きは、(y2 - y1) / (x2 - x1) で計算できます。

ここでは、(12, 420) と (x, 0) を用いて傾きを求めます。

ただし、傾きは12分からx軸と交わるまでの時間変化と距離変化によっても求められます。12分から吉田さんとお兄さんの距離が0になるまでの時間をtと置くと、傾きは $-420/t$ で表せます。

グラフの7分から12分までの傾きは、

$(420 - 490) / (12 - 7) = -70 / 5 = -14$ です。

一方、グラフがx軸と交わる点を求めましょう。12分から二人の距離が0になるまでの時間をtとすると、

$y = -14(x - 12) + 420$

この式が0になるxを求めます。

$0 = -14(x - 12) + 420$

$14(x - 12) = 420$

$x - 12 = 30$

$x = 42$

したがって、吉田さんとお兄さんが学校に到着したのは、吉田さんが家を出発してから42分後です。この時、二人の距離は0なので、吉田さんは学校に着いています。

グラフから、吉田さんとお兄さんの距離が最大になったのは7分後で、その距離は490mです。その後、二人の距離は減っていき、42分後には0mになります。これは、お兄さんが吉田さんに追いつき、一緒に学校に到着したことを意味します。したがって、家から学校までの距離は490mではありません。

12分から42分までの間、吉田さんとお兄さんの距離は縮まっていき、42分で0mになります。

12分から42分までにかかった時間は、42 - 12 = 30分です。

この間、お兄さんは吉田さんとの距離を420m縮めたので、お兄さんの速度は $420 / 30 = 14$ m/分です。

吉田さんは7分でお兄さんとの距離を490mまで広げたので、吉田さんの速度 - お兄さんの速度 = $490/7 = 70$ m/分。

吉田さんの速度は、70 + 14 = 84 m/分です。

吉田さんは42分で学校に着くので、家から学校までの距離は、$84 \times 42 = 3528$ m です。

3. 最終的な答え

3528 m