あるレストランで、デザートA、B、Cの3種類が用意されている。ある日、40人が来店し、デザートAは7皿、Bは15皿、Cは13皿注文された。デザートを注文しなかった人が9人いるとき、2種類以上のデザートを注文した人の人数の最大値を求める。ただし、同じ種類のデザートを2皿以上注文した人はいないとする。

1. 問題の内容

あるレストランで、デザートA、B、Cの3種類が用意されている。ある日、40人が来店し、デザートAは7皿、Bは15皿、Cは13皿注文された。デザートを注文しなかった人が9人いるとき、2種類以上のデザートを注文した人の人数の最大値を求める。ただし、同じ種類のデザートを2皿以上注文した人はいないとする。

2. 解き方の手順

まず、デザートを注文した人の数を計算します。来店した40人のうち、デザートを注文しなかった人が9人なので、デザートを注文した人は $40 - 9 = 31$ 人です。

次に、デザートの注文数の合計を計算します。Aが7皿、Bが15皿、Cが13皿なので、合計で $7 + 15 + 13 = 35$ 皿のデザートが注文されました。

2種類以上のデザートを注文した人の数を最大にするためには、1種類のデザートだけを注文した人の数を最小にする必要があります。デザートを注文した31人のうち、1種類のデザートだけを注文した人をできるだけ少なくすることを考えます。

1種類のデザートだけを注文した人の数を $x$、2種類のデザートを注文した人の数を $y$、3種類のデザートを注文した人の数を $z$ とします。このとき、

$x + y + z = 31$ （デザートを注文した人の合計）

$x + 2y + 3z = 35$ （注文されたデザートの皿の合計）

という2つの式が成り立ちます。

2種類以上のデザートを注文した人の数 $y + z$ の最大値を求めたいので、$x$ を最小にすることを考えます。$x$ が最小になるのは、$x=0$ に近い値を取るときです。

上記の2式から $y+z$ を求めます。

2番目の式から1番目の式を引くと、$y + 2z = 4$ となります。

したがって、$y = 4 - 2z$ です。

これを最初の式に代入すると、$x + 4 - 2z + z = 31$ より、$x = 27 + z$ となります。

$x, y, z$ は非負の整数でなければならないので、$y=4-2z \geq 0$ より、$z \leq 2$ である必要があります。

$y+z$ を最大にするためには、$z$ を大きくする必要があります。

$z = 2$ のとき、$y = 4 - 2(2) = 0$、$x = 27 + 2 = 29$。

このとき、$x + y + z = 29 + 0 + 2 = 31$、$x + 2y + 3z = 29 + 0 + 6 = 35$ となり、条件を満たします。

$y + z = 0 + 2 = 2$

$z = 1$ のとき、$y = 4 - 2(1) = 2$、$x = 27 + 1 = 28$。

このとき、$x + y + z = 28 + 2 + 1 = 31$、$x + 2y + 3z = 28 + 4 + 3 = 35$ となり、条件を満たします。

$y + z = 2 + 1 = 3$

$z = 0$ のとき、$y = 4 - 2(0) = 4$、$x = 27 + 0 = 27$。

このとき、$x + y + z = 27 + 4 + 0 = 31$、$x + 2y + 3z = 27 + 8 + 0 = 35$ となり、条件を満たします。

$y + z = 4 + 0 = 4$

したがって、2種類以上のデザートを注文した人数 $y + z$ の最大値は4です。

3. 最終的な答え

4人