二つの二次不等式が与えられています。 (1) $x^2 - 2x - 8 < 0$ を解く。 (2) $x^2 + (4-a)x - 4a \geq 0$ を解く。 ここで、$a$ は実数の定数です。

1. 問題の内容

二つの二次不等式が与えられています。

(1) $x^2 - 2x - 8 < 0$ を解く。

(2) $x^2 + (4-a)x - 4a \geq 0$ を解く。

ここで、$a$ は実数の定数です。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $x^2 - 2x - 8 < 0$ を解きます。

まず、左辺を因数分解します。

$x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2)$

したがって、不等式は $(x-4)(x+2) < 0$ となります。

この不等式が成り立つのは、$x-4$ と $x+2$ の符号が異なるときです。

$x-4 > 0$ かつ $x+2 < 0$ のとき、$x > 4$ かつ $x < -2$ となりますが、これはありえません。

$x-4 < 0$ かつ $x+2 > 0$ のとき、$x < 4$ かつ $x > -2$ となり、 $-2 < x < 4$ となります。

(2) 不等式 $x^2 + (4-a)x - 4a \geq 0$ を解きます。

まず、左辺を因数分解します。

$x^2 + (4-a)x - 4a = (x+4)(x-a)$

したがって、不等式は $(x+4)(x-a) \geq 0$ となります。

この不等式が成り立つのは、$x+4$ と $x-a$ の符号が同じときです。

(i) $a > -4$ のとき、

$x+4 \geq 0$ かつ $x-a \geq 0$ のとき、$x \geq -4$ かつ $x \geq a$ となり、$x \geq a$ となります。

$x+4 \leq 0$ かつ $x-a \leq 0$ のとき、$x \leq -4$ かつ $x \leq a$ となり、$x \leq -4$ となります。

したがって、$x \leq -4$ または $x \geq a$ となります。

(ii) $a = -4$ のとき、

$(x+4)(x+4) \geq 0$ となり、$(x+4)^2 \geq 0$ となります。

これはすべての実数 $x$ に対して成り立ちます。

(iii) $a < -4$ のとき、

$x+4 \geq 0$ かつ $x-a \geq 0$ のとき、$x \geq -4$ かつ $x \geq a$ となり、$x \geq -4$ となります。

$x+4 \leq 0$ かつ $x-a \leq 0$ のとき、$x \leq -4$ かつ $x \leq a$ となり、$x \leq a$ となります。

したがって、$x \leq a$ または $x \geq -4$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $-2 < x < 4$

(2)

$a > -4$ のとき、$x \leq -4$ または $x \geq a$

$a = -4$ のとき、すべての実数 $x$

$a < -4$ のとき、$x \leq a$ または $x \geq -4$