与えられた式 $(x+1)^2 (x-1)^2$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)^2 (x-1)^2$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)^2$ と $(x-1)^2$ をそれぞれ展開します。

$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

次に、展開した2つの式を掛け合わせます。

$(x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1)$

この式を整理するために、まず $(x^2+1)$ の項をまとめて考えます。

$(x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1) = ((x^2 + 1) + 2x)((x^2 + 1) - 2x)$

ここで、$A = x^2 + 1$ とおくと、式は $(A + 2x)(A - 2x)$ となり、これは $(A^2 - (2x)^2)$ に展開できます。

$(x^2 + 1)^2 - (2x)^2 = (x^4 + 2x^2 + 1) - 4x^2$

最後に、この式を整理して、最終的な形にします。

$x^4 + 2x^2 + 1 - 4x^2 = x^4 - 2x^2 + 1$

3. 最終的な答え

$x^4 - 2x^2 + 1$