複素関数 $f(z) = \frac{|z|^2}{z}$ が、$z \neq 0$ の範囲で微分可能かどうかを、コーシー・リーマンの微分方程式を用いて判定する問題です。

1. 問題の内容

複素関数 $f(z) = \frac{|z|^2}{z}$ が、$z \neq 0$ の範囲で微分可能かどうかを、コーシー・リーマンの微分方程式を用いて判定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$z = x + iy$ と表すと、 $|z|^2 = x^2 + y^2$ なので、

$f(z) = \frac{x^2 + y^2}{x + iy}$

となります。実部と虚部に分けるために、$x - iy$ を分母分子にかけます。

$f(z) = \frac{(x^2 + y^2)(x - iy)}{(x + iy)(x - iy)} = \frac{(x^2 + y^2)(x - iy)}{x^2 + y^2} = x - iy$

したがって、$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ とすると、 $u(x, y) = x$ , $v(x, y) = -y$ となります。

次に、コーシー・リーマンの微分方程式を確認します。

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

偏微分を計算します。

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial x} = 1$

$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial x}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial (-y)}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial (-y)}{\partial y} = -1$

これらの偏微分をコーシー・リーマンの微分方程式に代入します。

$1 = -1$

$0 = -0$

コーシー・リーマンの関係式の一つ$1=-1$が成立しないので、$f(z)$ は微分可能ではありません。ただし、$z=0$ではコーシー・リーマンの関係式は成立しませんが、原点では微分可能になる可能性があります。ただし、$z \neq 0$ では微分可能ではありません。

3. 最終的な答え

$f(z) = \frac{|z|^2}{z}$ は、$z \neq 0$ において微分可能ではない。