与えられた式 $a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) + c(a^2-b^2)$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) + c(a^2-b^2)$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

次に、同じ次数を持つ項をまとめます。ここでは、$a$について整理してみます。

$ab^2 - ba^2 + ca^2 - ac^2 + bc^2 - cb^2$

$a^2(c-b) + a(b^2-c^2) + bc^2 - cb^2$

$a^2(c-b) + a(b-c)(b+c) + bc(c-b)$

$a^2(c-b) - a(c-b)(b+c) + bc(c-b)$

共通因数 $(c-b)$ でくくります。

$(c-b)(a^2 - a(b+c) + bc)$

$(c-b)(a^2 - ab - ac + bc)$

$(c-b)(a(a-b) - c(a-b))$

$(c-b)(a-b)(a-c)$

ここで、因数の中の符号を整理するために、$(c-b)$を$(b-c)$に書き換えます。

$-(b-c)(a-b)(a-c)$

最後に、一般的に因数はアルファベット順に並べるので、

$-(a-b)(a-c)(b-c)$

符号を調整して、$(a-b)(b-c)(c-a)$ にします。

3. 最終的な答え

$(a-b)(b-c)(c-a)$