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与えられた式 $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$ を因数分解する。

代数学因数分解多項式展開式の整理
2025/3/19

1. 問題の内容

与えられた式 ab(a−b)+bc(b−c)+ca(c−a)ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理する。その後、因数分解を行う。
まず、式を展開する。
ab(a−b)+bc(b−c)+ca(c−a)=a2b−ab2+b2c−bc2+c2a−ca2ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) = a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2
次に、aについて降べきの順に整理する。
a2b−ab2+b2c−bc2+c2a−ca2=(b−c)a2−(b2−c2)a+(b2c−bc2)a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 = (b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + (b^2c - bc^2)
=(b−c)a2−(b+c)(b−c)a+bc(b−c) = (b-c)a^2 - (b+c)(b-c)a + bc(b-c)
共通因数 (b−c)(b-c) でくくる。
=(b−c)[a2−(b+c)a+bc]= (b-c)[a^2 - (b+c)a + bc]
括弧の中を因数分解する。
=(b−c)(a−b)(a−c)=(b-c)(a-b)(a-c)
符号を整理するために (a−c)(a-c) を −(c−a)-(c-a) に変える。
=(b−c)(a−b)(−1)(c−a)=(b-c)(a-b)(-1)(c-a)
=−(a−b)(b−c)(c−a)=-(a-b)(b-c)(c-a)

3. 最終的な答え

−(a−b)(b−c)(c−a)-(a-b)(b-c)(c-a)

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