与えられた式 $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理する。その後、因数分解を行う。

まず、式を展開する。

$ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) = a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$

次に、aについて降べきの順に整理する。

$a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 = (b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + (b^2c - bc^2)$

$= (b-c)a^2 - (b+c)(b-c)a + bc(b-c)$

共通因数 $(b-c)$ でくくる。

$= (b-c)[a^2 - (b+c)a + bc]$

括弧の中を因数分解する。

$=(b-c)(a-b)(a-c)$

符号を整理するために $(a-c)$ を $-(c-a)$ に変える。

$=(b-c)(a-b)(-1)(c-a)$

$=-(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$