等差数列の初項から第10項までの和が-395で、第21項から第30項までの和が205であるとき、この数列の初項 $a$ と公差 $d$ を求めよ。

1. 問題の内容

等差数列の初項から第10項までの和が-395で、第21項から第30項までの和が205であるとき、この数列の初項 $a$ と公差 $d$ を求めよ。

2. 解き方の手順

等差数列の初項を $a$、公差を $d$、初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。

* 初項から第10項までの和 $S_{10}$ に関する式を立てる。等差数列の和の公式より、

$S_{10} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \{2a + (10-1)d\} = -395$

これを整理すると、

$2a + 9d = -79$ ... (1)

* 第21項から第30項までの和 $S_{30} - S_{20}$ に関する式を立てる。等差数列の和の公式より、

$S_{30} - S_{20} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \{2a + (30-1)d\} - \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot \{2a + (20-1)d\} = 205$

これを整理すると、

$2a + 49d = 41$ ... (2)

* (1)式と(2)式を連立方程式として解く。

(2) - (1) より、

$(2a + 49d) - (2a + 9d) = 41 - (-79)$

$40d = 120$

$d = 3$

これを(1)式に代入すると、

$2a + 9 \cdot 3 = -79$

$2a + 27 = -79$

$2a = -106$

$a = -53$

3. 最終的な答え

初項 $a = -53$、公差 $d = 3$