3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 10 = 0$ の一つの解が $1+2i$ であるとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求める問題です。特に、(2)では、問題文中の空欄 テ ～ ヌ に当てはまる数を求めることが要求されています。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 10 = 0$ の一つの解が $1+2i$ であるとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求める問題です。特に、(2)では、問題文中の空欄 テ ～ ヌ に当てはまる数を求めることが要求されています。

2. 解き方の手順

太郎さんの考え方を利用して、$x = 1+2i$ を方程式に代入します。

$(1+2i)^3 + a(1+2i)^2 + b(1+2i) - 10 = 0$

$(1+2i)^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i$

$(1+2i)^3 = (1+2i)(-3+4i) = -3 + 4i -6i - 8 = -11 -2i$

したがって、

$-11 - 2i + a(-3+4i) + b(1+2i) - 10 = 0$

$(-11 - 3a + b - 10) + (-2 + 4a + 2b)i = 0$

$(-3a+b-21) + (4a+2b-2)i = 0$

実部と虚部がそれぞれ0になるので、

$-3a + b - 21 = 0$

$4a + 2b - 2 = 0$

これを解くと、

$b = 3a + 21$

$4a + 2(3a+21) - 2 = 0$

$4a + 6a + 42 - 2 = 0$

$10a = -40$

$a = -4$

$b = 3(-4) + 21 = -12 + 21 = 9$

したがって、$x^3 - 4x^2 + 9x - 10 = 0$

太郎さんの別の考え方:

$1+2i$ が解なら、共役複素数 $1-2i$ も解。

$(x - (1+2i))(x - (1-2i)) = x^2 - (1-2i)x - (1+2i)x + (1+2i)(1-2i) = x^2 - 2x + 5$

$x^3 - 4x^2 + 9x - 10 = (x-c)(x^2 - 2x + 5) = x^3 - 2x^2 + 5x - cx^2 + 2cx - 5c = x^3 + (-2-c)x^2 + (5+2c)x - 5c$

$x^3 - 4x^2 + 9x - 10 = x^3 + (-c-2)x^2 + (2c+5)x -5c$

したがって、

$-c-2 = -4$

$2c+5 = 9$

$-5c = -10$

より、$c = 2$

したがって、$a = -4$, $b = 9$、他の解は $2$。

$x^3 - 4x^2 + 9x - 10$ を $x^2 -2x+5$ で割ると、$x-2$

$x^3 - 4x^2 + 9x - 10 = (x-2)(x^2 -2x + 5)$

$x^3 - 4x^2 + 9x - 10 = x(x^2 -2x+5) -2(x^2-2x+5) = x^3 - 2x^2 + 5x - 2x^2 + 4x -10 = x^3 -4x^2 + 9x - 10$

係数比較:

$x^3 + ax^2 + bx - 10 = (x-c)(x^2 - 2x + 5) = x^3 + (-2-c)x^2 + (5+2c)x -5c$

$a = -c-2$, $b = 5+2c$, $-10 = -5c$ よって $c = 2$

$a = -2-2 = -4$, $b = 5+4 = 9$

$x^3 - 4x^2 + 9x - 10 = (x-2)(x^2 -2x + 5) = x(x^2 -2x+5) -2(x^2-2x+5) = x^3 - 2x^2 + 5x - 2x^2 + 4x -10 = x^3 -4x^2 + 9x - 10$

$x^3 - 4x^2 + 9x - 10 = (x-2)(x^2 - 2x + 5)$

$x^3 + ax^2 + bx - 10 = (x-c)(x^2 - 2x + 5) = x^3 -2x^2 + 5x - cx^2 +2cx -5c = x^3 + (-2-c)x^2 + (5+2c)x -5c$

$x^3 + ax^2 + bx - 10 = x^3 -(c+2)x^2 + (5+2c)x -5c$

$x^3 + ax^2 + bx - 10 = x^3 + (-2-c)x^2 + (5+2c)x - 5c$

したがって、空欄を埋めると、

テ = 2, ト = 5, ナ = 2, ニ = 5

3. 最終的な答え

テ = 2, ト = 5, ナ = 2, ニ = 5