生徒4人と先生3人がいるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 7人が1列に並ぶとき、生徒4人が隣り合う並び方は何通りあるか。 (2) 7人が1列に並ぶとき、先生どうしが隣り合わない並び方は何通りあるか。 (3) 7人の中から生徒2人と先生2人を選ぶとき、選び方は何通りあるか。 (4) 7人の中から3人を選ぶとき、少なくとも1人は先生である選び方は何通りあるか。

1. 問題の内容

生徒4人と先生3人がいるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 7人が1列に並ぶとき、生徒4人が隣り合う並び方は何通りあるか。

(2) 7人が1列に並ぶとき、先生どうしが隣り合わない並び方は何通りあるか。

(3) 7人の中から生徒2人と先生2人を選ぶとき、選び方は何通りあるか。

(4) 7人の中から3人を選ぶとき、少なくとも1人は先生である選び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 生徒4人をまとめて1つのグループとして考える。このグループと先生3人の合計4つを並べる方法は $4!$ 通り。生徒4人の中での並び方は $4!$ 通り。よって、求める並び方は $4! \times 4!$ 通り。

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

したがって、$24 \times 24 = 576$ 通り。

(2) まず生徒4人を並べる。これは $4!$ 通り。

次に、生徒の間の3箇所と両端の2箇所、合計5箇所から3箇所を選んで先生を配置する。これは ${}_5P_3$ 通り。

したがって、求める並び方は $4! \times {}_5P_3$ 通り。

$4! = 24$

${}_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$

$24 \times 60 = 1440$ 通り。

(3) 生徒4人から2人を選ぶ方法は ${}_4C_2$ 通り。

先生3人から2人を選ぶ方法は ${}_3C_2$ 通り。

したがって、求める選び方は ${}_4C_2 \times {}_3C_2$ 通り。

${}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

${}_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$

$6 \times 3 = 18$ 通り。

(4) 7人から3人を選ぶすべての選び方は ${}_7C_3$ 通り。

3人とも生徒である選び方は ${}_4C_3$ 通り。

少なくとも1人が先生である選び方は、すべての選び方から3人とも生徒である選び方を引けばよい。

したがって、求める選び方は ${}_7C_3 - {}_4C_3$ 通り。

${}_7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

${}_4C_3 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$

$35 - 4 = 31$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 576 通り

(2) 1440 通り

(3) 18 通り

(4) 31 通り