60人の生徒に2種類の本a, bを読んだことがあるかどうかを聞いた。aを読んだ生徒が30人、bを読んだ生徒が50人、aもbも読んでいない生徒が8人いた。 (1) aとbの少なくとも一方を読んだ生徒は何人か。 (2) 2種類とも読んだ生徒は何人か。 (3) bは読んだが、aは読んでいない生徒は何人か。

1. 問題の内容

60人の生徒に2種類の本a, bを読んだことがあるかどうかを聞いた。aを読んだ生徒が30人、bを読んだ生徒が50人、aもbも読んでいない生徒が8人いた。

(1) aとbの少なくとも一方を読んだ生徒は何人か。

(2) 2種類とも読んだ生徒は何人か。

(3) bは読んだが、aは読んでいない生徒は何人か。

2. 解き方の手順

まず、全体集合の要素数を$U$、aを読んだ生徒の集合を$A$、bを読んだ生徒の集合を$B$とします。問題文より、$U=60$, $n(A)=30$, $n(B)=50$です。aもbも読んでいない生徒の数は8人なので、$n(\overline{A \cup B}) = 8$です。

(1) aとbの少なくとも一方を読んだ生徒の数を求めるには、まず$n(A \cup B)$を求めます。

全体集合の要素数は、aとbの少なくとも一方を読んだ生徒と、aもbも読んでいない生徒の合計なので、$n(A \cup B) + n(\overline{A \cup B}) = U$。

よって、$n(A \cup B) = U - n(\overline{A \cup B}) = 60 - 8 = 52$。

(2) 2種類とも読んだ生徒の数を求めるには、$n(A \cap B)$を求めます。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$より、$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B) = 30 + 50 - 52 = 28$。

(3) bは読んだが、aは読んでいない生徒の数を求めるには、$n(B \cap \overline{A})$を求めます。

$n(B \cap \overline{A}) = n(B) - n(A \cap B) = 50 - 28 = 22$。

3. 最終的な答え

(1) 52人

(2) 28人

(3) 22人