50人にaとbの2問のクイズを出題したところ、aを正解した人は27人、bを正解した人は13人、aとbの両方を正解した人は4人でした。 (1) aとbの少なくとも一方を正解した人は何人か？ (2) aもbも正解しなかった人は何人か？ (3) aは正解したが、bは正解しなかった人は何人か？

1. 問題の内容

50人にaとbの2問のクイズを出題したところ、aを正解した人は27人、bを正解した人は13人、aとbの両方を正解した人は4人でした。

(1) aとbの少なくとも一方を正解した人は何人か？

(2) aもbも正解しなかった人は何人か？

(3) aは正解したが、bは正解しなかった人は何人か？

2. 解き方の手順

(1) aとbの少なくとも一方を正解した人の数

これは、aを正解した人数とbを正解した人数を足し、aとbの両方を正解した人数を引くことで計算できます（包除原理）。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

ここで、$n(A)$はaを正解した人数、$n(B)$はbを正解した人数、$n(A \cap B)$はaとbの両方を正解した人数、$n(A \cup B)$はaまたはbの少なくとも一方を正解した人数を表します。

(2) aもbも正解しなかった人の数

これは、全体の人数からaとbの少なくとも一方を正解した人数を引くことで計算できます。

$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(U) - n(A \cup B)$

ここで、$n(U)$は全体の人数、$n(A \cup B)$はaまたはbの少なくとも一方を正解した人数、$n(\overline{A} \cap \overline{B})$はaもbも正解しなかった人数を表します。

(3) aは正解したが、bは正解しなかった人の数

これは、aを正解した人数からaとbの両方を正解した人数を引くことで計算できます。

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$

ここで、$n(A)$はaを正解した人数、$n(A \cap B)$はaとbの両方を正解した人数、$n(A \cap \overline{B})$はaは正解したがbは正解しなかった人数を表します。

それでは、それぞれの値を代入して計算します。

(1)

$n(A \cup B) = 27 + 13 - 4 = 36$

(2)

$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 50 - 36 = 14$

(3)

$n(A \cap \overline{B}) = 27 - 4 = 23$

3. 最終的な答え

(1) aとbの少なくとも一方を正解した人は36人

(2) aもbも正解しなかった人は14人

(3) aは正解したが、bは正解しなかった人は23人