1から5までの数字が書かれたカードが各数字3枚ずつ、計15枚ある。この中から同時に2枚引くとき、 (1) 1枚だけ奇数である確率を求めよ。 (2) 少なくとも1枚が奇数である確率を求めよ。

1. 問題の内容

1から5までの数字が書かれたカードが各数字3枚ずつ、計15枚ある。この中から同時に2枚引くとき、

(1) 1枚だけ奇数である確率を求めよ。

(2) 少なくとも1枚が奇数である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 1枚だけ奇数である確率

まず、15枚のカードから2枚引く場合の総数を計算する。これは組み合わせで求められ、

$_{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ 通り。

次に、奇数のカードと偶数のカードの枚数を数える。

奇数は1, 3, 5の3種類で、それぞれ3枚ずつなので、奇数のカードは $3 \times 3 = 9$ 枚。

偶数は2, 4の2種類で、それぞれ3枚ずつなので、偶数のカードは $2 \times 3 = 6$ 枚。

1枚だけ奇数である場合は、奇数1枚と偶数1枚を引く場合である。

奇数1枚を選ぶ場合の数は $_9C_1 = 9$ 通り。

偶数1枚を選ぶ場合の数は $_6C_1 = 6$ 通り。

したがって、1枚だけ奇数である場合の数は $9 \times 6 = 54$ 通り。

求める確率は、$\frac{54}{105} = \frac{18}{35}$。

(2) 少なくとも1枚が奇数である確率

少なくとも1枚が奇数である場合は、2枚とも奇数である場合と、1枚が奇数で1枚が偶数である場合がある。

しかし、余事象を考える方が簡単である。

2枚とも偶数である確率を求め、1から引けばよい。

2枚とも偶数である場合の数は、$_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り。

2枚とも偶数である確率は、$\frac{15}{105} = \frac{1}{7}$。

少なくとも1枚が奇数である確率は、$1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7} = \frac{90}{105}$。

3. 最終的な答え

(1) 1枚だけ奇数である確率は $\frac{18}{35}$。

(2) 少なくとも1枚が奇数である確率は $\frac{6}{7}$。