1つのサイコロを3回投げ、出た目を順に $a, b, c$ とする。積 $abc$ を $n$ とおくとき、$n$ が2の倍数、5の倍数、10の倍数となる確率をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

1つのサイコロを3回投げ、出た目を順に $a, b, c$ とする。積 $abc$ を $n$ とおくとき、$n$ が2の倍数、5の倍数、10の倍数となる確率をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、サイコロの目の出方は全部で $6^3 = 216$ 通りである。

(1) $n$ が2の倍数となる確率

$n$ が2の倍数にならない（つまり奇数になる）のは、$a, b, c$ が全て奇数の場合である。奇数の目は1, 3, 5の3通りなので、全て奇数になる確率は $(\frac{3}{6})^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ である。

したがって、$n$ が2の倍数になる確率は $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ である。

(2) $n$ が5の倍数となる確率

$n$ が5の倍数にならないのは、$a, b, c$ のいずれも5の倍数でない場合である。5の倍数でない目は1, 2, 3, 4, 6の5通りなので、$a, b, c$ のいずれも5の倍数でない確率は $(\frac{5}{6})^3 = \frac{125}{216}$ である。

したがって、$n$ が5の倍数になる確率は $1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$ である。

(3) $n$ が10の倍数となる確率

$n$ が10の倍数となるのは、$n$ が2の倍数かつ5の倍数となるときである。

$n$ が2の倍数でない確率は $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ である。

$n$ が5の倍数でない確率は $(\frac{5}{6})^3 = \frac{125}{216}$ である。

$n$ が2の倍数または5の倍数でない確率は、和集合の公式より

$\frac{1}{8} + \frac{125}{216} - P(n が2の倍数でなく、かつ5の倍数でない)$

$n$が2の倍数でなく、かつ5の倍数でないのは、$a, b, c$がすべて奇数であり、かつ5の倍数でない場合。つまり、1, 3のみの場合である。確率は $(\frac{2}{6})^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

したがって、$n$ が2の倍数または5の倍数でない確率は、

$\frac{1}{8} + \frac{125}{216} - \frac{1}{27} = \frac{27+125-8}{216} = \frac{144}{216} = \frac{2}{3}$

したがって、$n$ が2の倍数かつ5の倍数である確率は、$1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ である。

3. 最終的な答え

$n$ が2の倍数となる確率は $\frac{7}{8}$

$n$ が5の倍数となる確率は $\frac{91}{216}$

$n$ が10の倍数となる確率は $\frac{1}{3}$