1枚の硬貨を繰り返し投げ、表が3回出たら賞品がもらえるゲームについて、1回目に裏が出た場合に、5回以内の試行で賞品がもらえる表裏の出方の順は何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

1枚の硬貨を繰り返し投げ、表が3回出たら賞品がもらえるゲームについて、1回目に裏が出た場合に、5回以内の試行で賞品がもらえる表裏の出方の順は何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、1回目は裏が出ることが確定しています。

賞品をもらうためには、残りの4回以内に表が3回出る必要があります。

考えられるパターンを全て列挙します。

ここで、表を○、裏を×と表します。

1回目が裏なので、×から始まることを念頭に置きます。

* 2回で終わる場合：×○○○ (これはありえない。1回目に裏が出ているので、最短でも3回は必要)

* 3回で終わる場合：×○×○, ××○○○ (3回目の表で終わる)

* 4回で終わる場合：

* ×○××○

* ××○×○

* ×××○○○ (4回目の表で終わる)

* 5回で終わる場合：

* ×○×××○

* ××○××○

* ×××○×○

* ××××○○○ (5回目の表で終わる)

注意点として、3回目の表が出た時点で終了となるので、それ以降の結果は考慮しません。

しかし、上記リストは、条件を満たす表と裏の並びをすべて列挙したものではありません。

条件を満たす場合を網羅的に数えるには、以下のように考えるのが効率的です。

1回目が裏なので、残りの4回の試行で表が3回出れば良い。

この場合、4回の試行で表が3回、裏が1回出る順列を考えればよい。

これは、4回の試行の中から、裏が出る1回の場所を選ぶ組み合わせを考えることと同じです。

4回の試行のうちどこで裏が出るかという組み合わせの数は $_4 C _1$ です。

$_4 C _1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(1)(3 \times 2 \times 1)} = 4$

具体的には、以下の4パターンです。

* ×○○○×

* ×○×○○

* ××○○○

* ×○○×○

3. 最終的な答え

4通り