ある地域で出荷されるりんごの等級が、色と形の基準を満たしているかどうかで決まる。Aを「色が基準を満たしているりんごを取り出す」という事象、Bを「形が基準を満たしているりんごを取り出す」という事象とする。 (1) 形が基準を満たしているとき、色は基準を満たしていない条件付き確率と、形が基準を満たしていないとき、色は基準を満たす条件付き確率を求める。 (2) $P(B) = \frac{2}{5}$、 $P(A \cap B) = \frac{1}{10}$、$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{7}{20}$のとき、取り出したりんごが最高級品、特選、家庭用である確率を求める。

1. 問題の内容

ある地域で出荷されるりんごの等級が、色と形の基準を満たしているかどうかで決まる。Aを「色が基準を満たしているりんごを取り出す」という事象、Bを「形が基準を満たしているりんごを取り出す」という事象とする。

(1) 形が基準を満たしているとき、色は基準を満たしていない条件付き確率と、形が基準を満たしていないとき、色は基準を満たす条件付き確率を求める。

(2) $P(B) = \frac{2}{5}$、 $P(A \cap B) = \frac{1}{10}$、$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{7}{20}$のとき、取り出したりんごが最高級品、特選、家庭用である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

- 形が基準を満たしているとき、色は基準を満たしていない条件付き確率は、$P_{\text{B}}(\bar{A})$であり、解答群では③。

- 形が基準を満たしていないとき、色は基準を満たす条件付き確率は、$P_{\bar{\text{B}}}(A)$であり、解答群では④。

(2)

- 最高級品である確率は、$P(A \cap B)$ であり、$P(A \cap B) = \frac{1}{10}$。

- $P(B) = \frac{2}{5} = \frac{8}{20}$

- $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} = \frac{12}{20}$

- 全体は１なので、$P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B) + P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1$

- 特選である確率は、$P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B)$であり、

$P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B) = 1 - P(A \cap B) - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - \frac{1}{10} - \frac{7}{20} = \frac{20}{20} - \frac{2}{20} - \frac{7}{20} = \frac{11}{20}$

- $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{5} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} - \frac{1}{10} = \frac{3}{10} = \frac{6}{20}$

- $P(A \cap \bar{B}) = P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B) - P(\bar{A} \cap B) = \frac{11}{20} - \frac{6}{20} = \frac{5}{20}$

- 家庭用である確率は、$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{7}{20}$。

3. 最終的な答え

(1) ア：③、イ：④

(2) ウエ：1/10、オ：11/20、カキ：7/20