全体の問題は2種類あります。最初の問題は1から150までの整数に関するものです。2番目の問題は、生徒に2つの数学の問題（AとB）を出題した結果に関するものです。具体的に解く必要のある問題は2番目の問題です。 生徒にAとBの2問の数学の問題を出題したところ、Aを正解した人は43人、Bを正解した人は37人、AもBも正解した人は15人いました。このとき、AもBも正解しなかった人は何人いるかを求めます。生徒の総数は明記されていません。総数を$N$とします。

1. 問題の内容

全体の問題は2種類あります。最初の問題は1から150までの整数に関するものです。2番目の問題は、生徒に2つの数学の問題（AとB）を出題した結果に関するものです。具体的に解く必要のある問題は2番目の問題です。

生徒にAとBの2問の数学の問題を出題したところ、Aを正解した人は43人、Bを正解した人は37人、AもBも正解した人は15人いました。このとき、AもBも正解しなかった人は何人いるかを求めます。生徒の総数は明記されていません。総数を$N$とします。

2. 解き方の手順

Aを正解した人の数を$n(A)$、Bを正解した人の数を$n(B)$、AもBも正解した人の数を$n(A \cap B)$、AまたはBを正解した人の数を$n(A \cup B)$、AもBも正解しなかった人の数を$n(\overline{A \cup B})$とします。

$n(A) = 43$

$n(B) = 37$

$n(A \cap B) = 15$

$A \cup B$を正解した人の数を求めるには、包含と排除の原理を使用します。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B) = 43 + 37 - 15 = 80 - 15 = 65$

$A \cup B$を正解しなかった人の数を求めるには、生徒の総数から$A \cup B$を正解した人の数を引きます。

$n(\overline{A \cup B}) = N - n(A \cup B)$

問題文には$N$の値が与えられていません。解答欄に数値のみを記入することから、$N$の値が無くとも$n(\overline{A \cup B})$の値が一意に定まる必要があります。

問題文に「生徒の総数は明記されていません」とあるので、この問題に答えるには、生徒の総数$N$が問題文の中に暗黙のうちに含まれている必要があります。

Aを正解した人数とBを正解した人数の合計が80人なので、生徒の総数$N$は少なくとも80人以上必要です。そうでないと、AとBを解いた人が全てAかBを解いたことになってしまい、$n(\overline{A \cup B})$は0になってしまいます。

また、問題文の始めに「人の生徒にAとBの2問の数学の問題を出題したところ」とあることから、ここで「人」とだけ記載されているものが、生徒の総数$N$を表していると考えられます。

しかし、「人の生徒に」とあるだけで、正確な人数が書かれていません。このままでは解くことができません。

しかし、この問題は高校数学の問題であると仮定すると、生徒の総数が不明な場合、ベン図を描いて考えることができます。ベン図において、全体集合を$U$とすると、$n(U) = N$となります。

この問題では、集合$A$はAを正解した人の集合、集合$B$はBを正解した人の集合を表すとします。

$n(A) = 43$, $n(B) = 37$, $n(A \cap B) = 15$

$A$のみを正解した人数は、$n(A) - n(A \cap B) = 43 - 15 = 28$

$B$のみを正解した人数は、$n(B) - n(A \cap B) = 37 - 15 = 22$

$A$も$B$も正解した人数は、$n(A \cap B) = 15$

$A$または$B$を正解した人数は、$28 + 22 + 15 = 65$

生徒の総数を$N$とすると、$A$も$B$も正解しなかった人数は$N - 65$となります。

問題文に生徒の総数が記載されていないため、解くことができません。生徒の総数を仮に100人とすると、$100-65=35$となり、35人がAもBも正解しなかったことになります。

3. 最終的な答え

生徒の総数が不明なため、AもBも正解しなかった人数は確定できません。仮に生徒の総数が100人だとすると、AもBも正解しなかった人は35人です。