袋の中に0, 1, 2, 3と書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ入っている。袋から1枚のカードを取り出し、数字を確認して元に戻すことを繰り返す。$k$回目に取り出したカードに書かれた数を$a_k$とする。$S_n$を$S_n = a_1 a_2 \dots a_{n-1} + a_n$ ($n = 2, 3, 4, \dots$)と定義する。 (1) $S_2 = 0$となる確率、$S_2 = 2$となる確率をそれぞれ求めよ。 (2) $S_4 = 0$となる確率、$S_4 = 2$となる確率をそれぞれ求めよ。 (3) $n$を3以上の整数とする。$S_n = 6$となる確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に0, 1, 2, 3と書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ入っている。袋から1枚のカードを取り出し、数字を確認して元に戻すことを繰り返す。$k$回目に取り出したカードに書かれた数を$a_k$とする。$S_n$を$S_n = a_1 a_2 \dots a_{n-1} + a_n$ ($n = 2, 3, 4, \dots$)と定義する。

(1) $S_2 = 0$となる確率、$S_2 = 2$となる確率をそれぞれ求めよ。

(2) $S_4 = 0$となる確率、$S_4 = 2$となる確率をそれぞれ求めよ。

(3) $n$を3以上の整数とする。$S_n = 6$となる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$S_2 = a_1 + a_2$である。

$S_2 = 0$となるのは、$a_1 = 0$かつ$a_2 = 0$のときのみである。

$a_1 = 0$となる確率は$\frac{1}{4}$であり、$a_2 = 0$となる確率も$\frac{1}{4}$である。

したがって、$S_2 = 0$となる確率は$\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$である。

$S_2 = 2$となるのは、$(a_1, a_2) = (0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2)$の場合である。

$a_1 = 0$のとき$a_2 = 2$であり、$a_1 = 1$のとき$a_2 = 1$, $a_1 = 2$のとき$a_2 = 0$である。

$a_1 = 0$かつ$a_2=2$, つまり$(a_1,a_2) = (0, 2)$となる確率は$\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$。

$a_1 = 1$かつ$a_2=1$, つまり$(a_1,a_2) = (1, 1)$となる確率は$\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$。

$a_1 = 2$かつ$a_2=0$, つまり$(a_1,a_2) = (2, 0)$となる確率は$\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$。

$S_2 = a_1 + a_2=2$となる確率は$\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16} = \frac{3}{16}$である。

(2)

$S_4 = a_1 a_2 a_3 + a_4$である。

$S_4 = 0$となるのは、$a_1 a_2 a_3 = 0$かつ$a_4 = 0$のときである。

$a_1 a_2 a_3 = 0$となるのは、$a_1, a_2, a_3$のうち少なくとも一つが0のときである。

$a_1 \ne 0, a_2 \ne 0, a_3 \ne 0$となる確率は$\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{64}$である。

したがって、$a_1 a_2 a_3 = 0$となる確率は$1 - \frac{27}{64} = \frac{37}{64}$である。

$a_4 = 0$となる確率は$\frac{1}{4}$である。

したがって、$S_4 = 0$となる確率は$\frac{37}{64} \times \frac{1}{4} = \frac{37}{256}$である。

$S_4 = 2$となるのは、$a_1 a_2 a_3 + a_4 = 2$となる場合である。

$a_1 a_2 a_3 = 0$のとき、$a_4 = 2$。この確率は$\frac{37}{64} \times \frac{1}{4} = \frac{37}{256}$。

$a_1 a_2 a_3 = 1$のとき、$a_4 = 1$。$a_1 a_2 a_3 = 1$となるのは、$a_1 = a_2 = a_3 = 1$のときのみ。確率は$\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{64}$。よって確率は$\frac{1}{64} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{256}$。

$a_1 a_2 a_3 = 2$のとき、$a_4 = 0$。$a_1 a_2 a_3 = 2$となるのは、$1 \times 1 \times 2, 1 \times 2 \times 1, 2 \times 1 \times 1$つまり、$(1, 1, 2)$の順列3通り。確率は$3 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{64}$。よって確率は$\frac{3}{64} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{256}$。

$S_4=2$となる確率は$\frac{37}{256}+\frac{1}{256}+\frac{3}{256} = \frac{41}{256}$。

(3)

$S_n = a_1 a_2 \dots a_{n-1} + a_n = 6$

$a_1 a_2 \dots a_{n-1} = 6 - a_n$

$a_n$は0, 1, 2, 3のいずれかの値を取るので、$6 - a_n$は3, 4, 5, 6のいずれかの値を取る。

$a_1, \dots, a_{n-1}$は0, 1, 2, 3のいずれかの値を取るので、$a_1 a_2 \dots a_{n-1}$の値域を考える。

$a_1 a_2 \dots a_{n-1}$は整数なので、$6 - a_n$も整数である。

$a_n=0$のとき、$a_1 a_2 \dots a_{n-1} = 6$

$a_n=1$のとき、$a_1 a_2 \dots a_{n-1} = 5$

$a_n=2$のとき、$a_1 a_2 \dots a_{n-1} = 4$

$a_n=3$のとき、$a_1 a_2 \dots a_{n-1} = 3$

$a_1 a_2 \dots a_{n-1} = 6$となるのは、$n=2$のとき$a_1=6$となることはないので、$a_i \le 3$より$n-1 \ge 2$が必要。

$n-1=2$なら$a_1a_2 = 6$となり$(a_1, a_2) = (2,3), (3,2)$の2通り。

$n-1=3$なら$a_1a_2a_3 = 6$となり$(a_1, a_2, a_3) = (1,2,3)$の並び替え。$3!=6$通り。

$a_1 a_2 \dots a_{n-1} = 5$となるのは、$n=2$のとき$a_1=5$となることはないので、$a_i \le 3$より$n-1 \ge 2$が必要。

$n-1=2$なら$a_1a_2 = 5$となり$(a_1, a_2) = (5,1), (1,5)$となることはない。

$a_1 a_2 \dots a_{n-1} = 4$となるのは、$(1,1,1,1, \dots) = 4$

$a_1 a_2 \dots a_{n-1} = 3$となるのは、$a_i \le 3$

$S_n = 6$となる確率を計算する。

$n = 3$の場合

$S_3 = a_1 a_2 + a_3 = 6$

$a_3 = 0, a_1 a_2 = 6 \rightarrow (2, 3), (3, 2)$の2通り

$a_3 = 1, a_1 a_2 = 5$ (なし)

$a_3 = 2, a_1 a_2 = 4 \rightarrow (1, 4), (4, 1), (2, 2)$ (2, 2)のみ

$a_3 = 3, a_1 a_2 = 3 \rightarrow (1, 3), (3, 1)$

$S_3 = 6$となる確率は$\frac{2}{4^2}\frac{1}{4} + \frac{1}{4^2}\frac{1}{4} + \frac{2}{4^2}\frac{1}{4} = \frac{5}{64}$

$a_1 a_2 \dots a_{n-1} = i, a_n = 6-i$となる確率の合計を求める。

$n = 3$以上の整数とする。$S_n = 6$となる確率を求める。

$S_n = a_1 a_2 \dots a_{n-1} + a_n = 6$

ここで$a_i \in \{0, 1, 2, 3\}$なので、$a_1 a_2 \dots a_{n-1} \le 6$を満たす$a_n$を見つける。

$a_n = 0$のとき、$a_1 a_2 \dots a_{n-1} = 6$

$a_n = 1$のとき、$a_1 a_2 \dots a_{n-1} = 5$

$a_n = 2$のとき、$a_1 a_2 \dots a_{n-1} = 4$

$a_n = 3$のとき、$a_1 a_2 \dots a_{n-1} = 3$

したがって、$\frac{p(a_1a_2\dots a_{n-1}=6)+p(a_1a_2\dots a_{n-1}=5)+p(a_1a_2\dots a_{n-1}=4)+p(a_1a_2\dots a_{n-1}=3)}{4}$が答えとなる

3. 最終的な答え

(1) $S_2 = 0$となる確率は$\frac{1}{16}$、 $S_2 = 2$となる確率は$\frac{3}{16}$

(2) $S_4 = 0$となる確率は$\frac{37}{256}$、 $S_4 = 2$となる確率は$\frac{41}{256}$

(3) $S_n = 6$となる確率は、 $n = 3$のとき$\frac{5}{64}$