与えられた対数の値 $\log_{10} 2 = 0.3010$ および $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、以下の問題を解く。 (1) $\log_{10} 4$ と $\log_{10} 5$ の値を求める。 (2) $4^{200}$ の桁数を求める。 (3) $(\frac{1}{5})^{32}$ が小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。

1. 問題の内容

与えられた対数の値 $\log_{10} 2 = 0.3010$ および $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、以下の問題を解く。

(1) $\log_{10} 4$ と $\log_{10} 5$ の値を求める。

(2) $4^{200}$ の桁数を求める。

(3) $(\frac{1}{5})^{32}$ が小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\log_{10} 4$ を求める。

$4 = 2^2$ であるから、

$\log_{10} 4 = \log_{10} 2^2 = 2 \log_{10} 2 = 2 \times 0.3010 = 0.6020$

$\log_{10} 5$ を求める。

$5 = \frac{10}{2}$ であるから、

$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

(2)

$N = 4^{200}$ の桁数を求める。

$\log_{10} N = \log_{10} 4^{200} = 200 \log_{10} 4 = 200 \times 0.6020 = 120.4$

桁数は $\lfloor \log_{10} N \rfloor + 1$ で求められる。

$\lfloor 120.4 \rfloor + 1 = 120 + 1 = 121$

(3)

$A = (\frac{1}{5})^{32}$ が小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。

$\log_{10} A = \log_{10} (\frac{1}{5})^{32} = 32 \log_{10} (\frac{1}{5}) = 32 \log_{10} 5^{-1} = -32 \log_{10} 5 = -32 \times 0.6990 = -22.368$

小数第何位に初めて0でない数があらわれるかは、$-\lfloor \log_{10} A \rfloor$ で求められる。

$-\lfloor -22.368 \rfloor = -(-23) = 23$

3. 最終的な答え

(1) $\log_{10} 4 = 0.6020$, $\log_{10} 5 = 0.6990$

(2) 121桁

(3) 小数第23位