与えられた3次式 $x^3 - 5x^2 - 4x + 20$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $x^3 - 5x^2 - 4x + 20$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を $f(x) = x^3 - 5x^2 - 4x + 20$ とおく。

まず、$f(x)=0$ となるような $x$ の値をいくつか探してみる。

$f(2) = 2^3 - 5(2^2) - 4(2) + 20 = 8 - 20 - 8 + 20 = 0$

したがって、$x-2$ は $f(x)$ の因数である。

次に、$f(x)$ を $x-2$ で割る。

$$$$

\begin{array}{c|cccc}

\multicolumn{2}{r}{x^2} & -3x & -10 \\

\cline{2-5}

x-2 & x^3 & -5x^2 & -4x & +20 \\

\multicolumn{2}{r}{x^3} & -2x^2 \\

\cline{2-3}

\multicolumn{2}{r}{0} & -3x^2 & -4x \\

\multicolumn{2}{r}{} & -3x^2 & +6x \\

\cline{3-4}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & -10x & +20 \\

\multicolumn{2}{r}{} & & -10x & +20 \\

\cline{4-5}

\multicolumn{2}{r}{} & & 0 & 0 \\

\end{array}

$$$$

よって、

$x^3 - 5x^2 - 4x + 20 = (x-2)(x^2 - 3x - 10)$

次に、$x^2 - 3x - 10$ を因数分解する。

$x^2 - 3x - 10 = (x-5)(x+2)$

したがって、

$x^3 - 5x^2 - 4x + 20 = (x-2)(x-5)(x+2)$

3. 最終的な答え

$(x-2)(x-5)(x+2)$