数列 $\{a_n\}$ が以下の条件で定められているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。 $a_1 = 10$ $a_{n+1} = 2a_n + 2^{n+2}$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が以下の条件で定められているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

$a_1 = 10$

$a_{n+1} = 2a_n + 2^{n+2}$

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 2^{n+2}$ を解く。

まず、両辺を $2^{n+1}$ で割る。

$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{2a_n}{2^{n+1}} + \frac{2^{n+2}}{2^{n+1}}$

$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{a_n}{2^n} + 2$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とおくと、

$b_{n+1} = b_n + 2$

これは、公差が2の等差数列である。

初項 $b_1 = \frac{a_1}{2^1} = \frac{10}{2} = 5$

したがって、$b_n = b_1 + (n-1)d = 5 + (n-1)2 = 5 + 2n - 2 = 2n + 3$

$b_n = 2n + 3$

よって、$a_n = 2^n b_n = 2^n (2n+3)$

3. 最終的な答え

$a_n = (2n+3)2^n$