人が線路沿いを毎分80mの速さで歩いています。前方の電車とは13分45秒ごとにすれ違い、後方の電車には16分30秒ごとに追い越されます。電車は同じ速度、同じ間隔で運転されています。電車の運転間隔を求める問題です。

1. 問題の内容

人が線路沿いを毎分80mの速さで歩いています。前方の電車とは13分45秒ごとにすれ違い、後方の電車には16分30秒ごとに追い越されます。電車は同じ速度、同じ間隔で運転されています。電車の運転間隔を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、単位を分に統一します。

13分45秒 = 13 + 45/60 = 13 + 3/4 = 13.75分

16分30秒 = 16 + 30/60 = 16 + 1/2 = 16.5分

電車の速さを$v$ (m/分)、電車の運転間隔を$t$ (分)とします。

人が歩いている方向を正とします。

すれ違う場合、相対速度は$v+80$ (m/分) です。

追い越される場合、相対速度は$v-80$ (m/分) です。

電車の運転間隔 $t$ の間に電車が進む距離は $vt$ です。

すれ違う場合、13.75分ごとに電車が来るので、

$(v+80) \times 13.75 = vt$

追い越される場合、16.5分ごとに電車が来るので、

$(v-80) \times 16.5 = vt$

連立方程式を解きます。

$13.75v + 13.75 \times 80 = vt$

$16.5v - 16.5 \times 80 = vt$

$13.75v + 1100 = vt$

$16.5v - 1320 = vt$

$13.75v + 1100 = 16.5v - 1320$

$16.5v - 13.75v = 1100 + 1320$

$2.75v = 2420$

$v = 2420 / 2.75 = 880$

$vt = 13.75v + 1100$ に $v=880$ を代入します。

$880t = 13.75 \times 880 + 1100$

$880t = 12100 + 1100$

$880t = 13200$

$t = 13200 / 880 = 15$

3. 最終的な答え

15分