長さ $l$ [m] の棒が垂直な壁に立てかけられている。棒の下端Bが壁から3m離れているとき、下端Bの水平方向の速度が2m/sであった。このとき、棒の上端Aが下向きに動く速度を求めよ。

1. 問題の内容

長さ $l$ [m] の棒が垂直な壁に立てかけられている。棒の下端Bが壁から3m離れているとき、下端Bの水平方向の速度が2m/sであった。このとき、棒の上端Aが下向きに動く速度を求めよ。

2. 解き方の手順

棒の上端Aの壁からの距離を $y$ [m]、下端Bの壁からの距離を $x$ [m]とする。

ピタゴラスの定理より、

$x^2 + y^2 = l^2$

この式を時間 $t$ で微分すると、

$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$

$\frac{dx}{dt}$ は棒の下端Bの水平方向の速度であり、問題文より $\frac{dx}{dt} = 2$ m/s である。

また、$x = 3$ [m]である。

$y$ は、 $y = \sqrt{l^2 - x^2} = \sqrt{l^2 - 3^2} = \sqrt{l^2 - 9}$ となる。

よって、$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$ より、

$2 \cdot 3 \cdot 2 + 2\sqrt{l^2 - 9} \frac{dy}{dt} = 0$

$12 + 2\sqrt{l^2 - 9} \frac{dy}{dt} = 0$

$2\sqrt{l^2 - 9} \frac{dy}{dt} = -12$

$\frac{dy}{dt} = -\frac{6}{\sqrt{l^2 - 9}}$

$\frac{dy}{dt}$ は棒の上端Aの垂直方向の速度であり、負の値は下向きであることを示す。

3. 最終的な答え

上端Aが下向きに動く速度は $\frac{6}{\sqrt{l^2 - 9}}$ m/s