この問題は、数と式、二次関数、データの分析、図形の性質に関する小問集合です。具体的には、多項式の展開、因数分解、放物線の平行移動、統計量（中央値、平均値、分散）の計算、台形と三角形に関する三角比と長さの計算が求められています。

1. 問題の内容

この問題は、数と式、二次関数、データの分析、図形の性質に関する小問集合です。具体的には、多項式の展開、因数分解、放物線の平行移動、統計量（中央値、平均値、分散）の計算、台形と三角形に関する三角比と長さの計算が求められています。

2. 解き方の手順

(1) (i) $(x^2 - 2x + 3)(x^2 + 3)$ を展開します。

分配法則を用いて、

$x^2(x^2+3) - 2x(x^2+3) + 3(x^2+3) = x^4 + 3x^2 - 2x^3 - 6x + 3x^2 + 9$

これを整理して、$x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 6x + 9$

(ii) $x^2 + 4xy + 4y^2 - 2yz - zx$ を因数分解します。

$x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2$ であることに注目し、

$(x+2y)^2 - z(x+2y) = (x+2y)(x+2y-z)$

(2) $y = x^2 - 4x + 3$ をx軸方向に$p$、y軸方向に$p$だけ平行移動した放物線C'の式を求めます。

$y = (x-p)^2 - 4(x-p) + 3 + p$

$y = x^2 - 2px + p^2 - 4x + 4p + 3 + p$

$y = x^2 - (2p+4)x + p^2 + 5p + 3$

(i) C'の頂点の座標を$p$を用いて表します。

C'の式を平方完成します。

$y = (x - (p+2))^2 - (p+2)^2 + p^2 + 5p + 3$

$y = (x - (p+2))^2 - p^2 - 4p - 4 + p^2 + 5p + 3$

$y = (x - (p+2))^2 + p - 1$

よって、頂点の座標は $(p+2, p-1)$

(ii) C'がx軸と異なる2点で交わるようなpの値の範囲を求めます。

C'の頂点のy座標が負であれば良いので、

$p - 1 < 0$

$p < 1$

(iii) C'がx軸から切り取る線分の長さが4となるようなpの値を求めます。

$y = x^2 - (2p+4)x + p^2 + 5p + 3 = 0$ の解を$\alpha, \beta$とすると、

$|\alpha - \beta| = 4$

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 16$

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 2p + 4$、$\alpha\beta = p^2 + 5p + 3$

$(2p+4)^2 - 4(p^2 + 5p + 3) = 16$

$4p^2 + 16p + 16 - 4p^2 - 20p - 12 = 16$

$-4p = 12$

$p = -3$

(3) (i) このデータの中央値を求めます。

データは2, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 9, 9, 10

中央値は $(6 + 6) / 2 = 6$ 点

(ii) このデータの平均値を求めます。

平均値は $(2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 6 \cdot 3 + 9 \cdot 2 + 10 \cdot 1) / 10 = (2 + 12 + 18 + 18 + 10) / 10 = 60/10 = 6$ 点

(iii) このデータの分散を求めます。

分散は $E[(X-\mu)^2] = E[X^2] - \mu^2$

$E[X^2] = (2^2 \cdot 1 + 4^2 \cdot 3 + 6^2 \cdot 3 + 9^2 \cdot 2 + 10^2 \cdot 1) / 10 = (4 + 48 + 108 + 162 + 100) / 10 = 422/10 = 42.2$

分散は $42.2 - 6^2 = 42.2 - 36 = 6.2$

(4) 台形ABCDについて

(i) $\sin \angle ABC, \cos \angle ABC$ の値を求めます。

三角形ABCの面積は $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC = 16$

$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin \angle ABC = 16$

$20 \sin \angle ABC = 16$

$\sin \angle ABC = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$

$\angle ABC$ は鋭角なので、$\cos \angle ABC = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

(ii) 線分BDの長さを求めます。

$\triangle ABC$に余弦定理を適用します。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$

$AC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{3}{5} = 25 + 64 - 48 = 41$

よって$AC = \sqrt{41}$

$\triangle BCD$を考える。

$BC = 8$, $CD = \sqrt{(5-3)^2+h^2} = \sqrt{4+h^2}$。高さhを求める必要がある。

$\triangle ABC$について、ヘロンの公式を用いる。$s = \frac{5+8+\sqrt{41}}{2}$

面積=$\sqrt{s(s-5)(s-8)(s-\sqrt{41})}=16$

$\triangle ABD$を考える。

$BD^2 = AB^2+AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAD = 25+9 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(180^\circ - \angle ABC) = 34 - 30(-\cos \angle ABC) = 34+30\cdot \frac{3}{5} = 34+18=52$

よって$BD = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

(iii) 三角形ABDの外接円の半径を求めます。

正弦定理より、$2R = \frac{BD}{\sin \angle BAD} = \frac{2\sqrt{13}}{\sin(180^\circ - \angle ABC)} = \frac{2\sqrt{13}}{\sin \angle ABC} = \frac{2\sqrt{13}}{4/5} = \frac{10\sqrt{13}}{4} = \frac{5\sqrt{13}}{2}$

$R = \frac{5\sqrt{13}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) (i) $x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 6x + 9$

(ii) $(x+2y)(x+2y-z)$

(2) (i) $(p+2, p-1)$

(ii) $p < 1$

(iii) $p = -3$

(3) (i) 6点

(ii) 6点

(iii) 6.2

(4) (i) $\sin \angle ABC = \frac{4}{5}$, $\cos \angle ABC = \frac{3}{5}$

(ii) $BD = 2\sqrt{13}$

(iii) $R = \frac{5\sqrt{13}}{4}$