2次方程式 $8x^2 + x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha + \alpha\beta + \beta$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $8x^2 + x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha + \alpha\beta + \beta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、以下の関係が成り立つ。

$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$$

$$\alpha\beta = \frac{c}{a}$$

与えられた2次方程式 $8x^2 + x + 3 = 0$ において、$a=8$, $b=1$, $c=3$ であるから、

$$\alpha + \beta = -\frac{1}{8}$$

$$\alpha\beta = \frac{3}{8}$$

求める値は、$\alpha + \alpha\beta + \beta$ である。これは $(\alpha + \beta) + \alpha\beta$ と書き換えられる。

したがって、

$$\alpha + \alpha\beta + \beta = (\alpha + \beta) + \alpha\beta = -\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$