問題は、$\frac{2}{\sqrt{6}-2}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、(1) $a$ と $b$ の値を求め、(2) $a^2 + ab$ と $a^2 + 4ab + 4b^2$ の値を求めるものです。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{2}{\sqrt{6}-2}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、(1) $a$ と $b$ の値を求め、(2) $a^2 + ab$ と $a^2 + 4ab + 4b^2$ の値を求めるものです。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\frac{2}{\sqrt{6}-2}$ を有理化します。

$\frac{2}{\sqrt{6}-2} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{6-4} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{2} = \sqrt{6}+2$

次に、$\sqrt{6}$ の範囲を考えます。$2^2 = 4 < 6 < 9 = 3^2$ より、$2 < \sqrt{6} < 3$ です。

したがって、$2 + 2 < \sqrt{6} + 2 < 3 + 2$ より、$4 < \sqrt{6} + 2 < 5$ となります。

よって、$\frac{2}{\sqrt{6}-2} = \sqrt{6}+2$ の整数部分 $a$ は 4 です。

小数部分 $b$ は、$\frac{2}{\sqrt{6}-2} - a$ で求められます。

$b = \sqrt{6} + 2 - 4 = \sqrt{6} - 2$

(2) $a^2 + ab$ と $a^2 + 4ab + 4b^2$ の値を求めます。

まず、$a^2 + ab = a(a+b)$ に、$a=4$、$b=\sqrt{6}-2$ を代入します。

$a^2 + ab = 4(4 + \sqrt{6} - 2) = 4(2 + \sqrt{6}) = 8 + 4\sqrt{6}$

次に、$a^2 + 4ab + 4b^2 = a^2 + 2(2b)a + (2b)^2 = (a+2b)^2$ に、$a=4$、$b=\sqrt{6}-2$ を代入します。

$(a+2b)^2 = (4 + 2(\sqrt{6}-2))^2 = (4 + 2\sqrt{6} - 4)^2 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \times 6 = 24$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4$, $b = \sqrt{6} - 2$

(2) $a^2 + ab = 8 + 4\sqrt{6}$, $a^2 + 4ab + 4b^2 = 24$