2つの2次方程式 $x^2 + 3x + m = 0$ と $x^2 - x + 3m = 0$ が共通解を持つとき、定数 $m$ の値と共通解を求める。

1. 問題の内容

2つの2次方程式 $x^2 + 3x + m = 0$ と $x^2 - x + 3m = 0$ が共通解を持つとき、定数 $m$ の値と共通解を求める。

2. 解き方の手順

共通解を $\alpha$ とすると、以下の2つの式が成り立つ。

$\alpha^2 + 3\alpha + m = 0$ ...(1)

$\alpha^2 - \alpha + 3m = 0$ ...(2)

(1) - (2) より、

$4\alpha - 2m = 0$

$2\alpha = m$ ...(3)

(3)を(1)に代入する。

$\alpha^2 + 3\alpha + 2\alpha = 0$

$\alpha^2 + 5\alpha = 0$

$\alpha (\alpha + 5) = 0$

よって、$\alpha = 0$ または $\alpha = -5$。

(i) $\alpha = 0$ のとき、(3)より $m = 2\alpha = 2(0) = 0$。

このとき、2つの2次方程式は $x^2 + 3x = 0$ と $x^2 - x = 0$ となり、共通解は $x=0$ となる。

このとき，$x(x+3)=0$ と $x(x-1)=0$なので$x=0$が共通解となる.

(ii) $\alpha = -5$ のとき、(3)より $m = 2\alpha = 2(-5) = -10$。

このとき、2つの2次方程式は $x^2 + 3x - 10 = 0$ と $x^2 - x - 30 = 0$ となる。

$x^2 + 3x - 10 = (x+5)(x-2) = 0$ より $x=-5, 2$。

$x^2 - x - 30 = (x+5)(x-6) = 0$ より $x=-5, 6$。

共通解は $x = -5$ となる。

3. 最終的な答え

$m = 0$ のとき、共通解は $x=0$。

$m = -10$ のとき、共通解は $x=-5$。