与えられた式 $x^4 - 6x^2 + 1$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 6x^2 + 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は $x^2$ の2次式として見ることができますが、因数分解を簡単にするために、平方完成のテクニックを利用します。

まず、$x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2$ であることを利用します。元の式を $(x^2 + 1)^2$ の形に近づけるために、$-6x^2$ を $2x^2 - 8x^2$ と分解します。

すると、元の式は次のようになります。

$x^4 - 6x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 8x^2$

ここで、$x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2$ であるので、

$(x^2 + 1)^2 - 8x^2$

これは、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ という因数分解の公式を利用できる形になっています。$A = x^2 + 1$ であり、$B = \sqrt{8}x = 2\sqrt{2}x$ です。

したがって、

$(x^2 + 1)^2 - 8x^2 = (x^2 + 1 + 2\sqrt{2}x)(x^2 + 1 - 2\sqrt{2}x)$

整理して、

$(x^2 + 2\sqrt{2}x + 1)(x^2 - 2\sqrt{2}x + 1)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 2\sqrt{2}x + 1)(x^2 - 2\sqrt{2}x + 1)$