(1) 3次方程式 $x^3 - 7x^2 + 18x - 12 = 0$ の解を求める。ただし、$i$ は虚数単位である。 (2) 2点A(-3, 1), B(5, 3) に対して、$AP^2 + BP^2 = 84$ を満たす点Pの軌跡の中心の座標と半径を求める。 (3) 関数 $y = 6\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$ がある。$0 \le \theta \le \pi$ のとき、$y$ のとり得る値の範囲を求める。 (4) 方程式 $4^x - 31 \cdot 2^x - 32 = 0$ の解を求める。 (5) 2等級の明るさと、7等級の明るさの関係を求める。

1. 問題の内容

(1) 3次方程式 $x^3 - 7x^2 + 18x - 12 = 0$ の解を求める。ただし、$i$ は虚数単位である。

(2) 2点A(-3, 1), B(5, 3) に対して、$AP^2 + BP^2 = 84$ を満たす点Pの軌跡の中心の座標と半径を求める。

(3) 関数 $y = 6\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$ がある。$0 \le \theta \le \pi$ のとき、$y$ のとり得る値の範囲を求める。

(4) 方程式 $4^x - 31 \cdot 2^x - 32 = 0$ の解を求める。

(5) 2等級の明るさと、7等級の明るさの関係を求める。

2. 解き方の手順

(1) 3次方程式 $x^3 - 7x^2 + 18x - 12 = 0$ を解く。

まず、$x=1$ を代入すると、$1-7+18-12=0$ より、$x=1$ は解である。

次に、因数分解を行う。

$x^3 - 7x^2 + 18x - 12 = (x-1)(x^2 - 6x + 12) = 0$

よって、$x=1$ または $x^2 - 6x + 12 = 0$

$x^2 - 6x + 12 = 0$ を解くために、解の公式を用いる。

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 3 \pm \sqrt{3}i$

したがって、$x=1, 3 \pm \sqrt{3}i$

(2) 点Pの座標を$(x,y)$とする。

$AP^2 + BP^2 = (x+3)^2 + (y-1)^2 + (x-5)^2 + (y-3)^2 = 84$

$x^2 + 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 + x^2 - 10x + 25 + y^2 - 6y + 9 = 84$

$2x^2 - 4x + 2y^2 - 8y + 44 = 84$

$2x^2 - 4x + 2y^2 - 8y - 40 = 0$

$x^2 - 2x + y^2 - 4y - 20 = 0$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) = 20 + 1 + 4$

$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 25$

これは、中心 $(1, 2)$, 半径 $5$ の円の方程式である。

(3) 関数 $y = 6\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$ について、$0 \le \theta \le \pi$ の範囲で $y$ の値の範囲を求める。

$\theta - \frac{\pi}{6}$ の範囲は、$-\frac{\pi}{6} \le \theta - \frac{\pi}{6} \le \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

$\sin$ の最小値は $-\frac{1}{2}$ ($\theta - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$)、最大値は $1$ ($\theta - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$)

よって、最小値は $6 \times (-\frac{1}{2}) = -3$、最大値は $6 \times 1 = 6$

したがって、$-3 \le y \le 6$

(4) 方程式 $4^x - 31 \cdot 2^x - 32 = 0$ を解く。

$2^x = t$ とおくと、$t^2 - 31t - 32 = 0$

$(t-32)(t+1) = 0$

$t = 32$ または $t = -1$

$2^x = 32 = 2^5$ より $x=5$

$2^x = -1$ は実数解を持たない。

よって、$x = 5$

(5) $0.4(n-m) = \log_{10} L_m - \log_{10} L_n$

$n=2, m=7$ とすると、

$0.4(2-7) = \log_{10} L_7 - \log_{10} L_2$

$0.4(-5) = -2 = \log_{10} \frac{L_7}{L_2}$

$\frac{L_7}{L_2} = 10^{-2}$

$L_7 = 10^{-2}L_2$

$L_2 = 10^{2} L_7$

3. 最終的な答え

(1) ア：1, イ：3, ウ：3

(2) エ：1, オ：2, カ：5

(3) キク：-3, ケ：6

(4) コ：5

(5) サ：2