$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ (3) $x^4 + \frac{1}{x^4}$

1. 問題の内容

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

(3) $x^4 + \frac{1}{x^4}$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求める。

与えられた式 $x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ を2乗する。

$(x + \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{5})^2$

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 5$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 5$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 5 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ を求める。

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ を3乗する。

$(x + \frac{1}{x})^3 = (\sqrt{5})^3$

$x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} = 5\sqrt{5}$

$x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = 5\sqrt{5}$

$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x}) = 5\sqrt{5}$

$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(\sqrt{5}) = 5\sqrt{5}$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 5\sqrt{5} - 3\sqrt{5}$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 2\sqrt{5}$

(3) $x^4 + \frac{1}{x^4}$ を求める。

(1)で求めた $x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$ を2乗する。

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = 3^2$

$(x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^2} + (\frac{1}{x^2})^2 = 9$

$x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 9$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 9 - 2$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 7$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3} = 2\sqrt{5}$

(3) $x^4 + \frac{1}{x^4} = 7$