横が縦より5cm長い長方形の厚紙がある。この4隅から一辺が2cmの正方形を切り取り、直方体の容器を作ると、その容積は1092 $cm^3$になる。はじめの厚紙の縦と横の長さを求める。

1. 問題の内容

横が縦より5cm長い長方形の厚紙がある。この4隅から一辺が2cmの正方形を切り取り、直方体の容器を作ると、その容積は1092 $cm^3$になる。はじめの厚紙の縦と横の長さを求める。

2. 解き方の手順

はじめの厚紙の縦の長さを $x$ cmとすると、横の長さは $(x + 5)$ cmとなる。

4隅から一辺が2cmの正方形を切り取って作った直方体の容器の高さは2cmである。

このとき、直方体の底面の縦の長さは$(x - 4)$ cm、横の長さは$(x + 5 - 4) = (x + 1)$ cmとなる。

直方体の容積は $1092 cm^3$なので、以下の式が成り立つ。

$$2(x - 4)(x + 1) = 1092$$

両辺を2で割ると、

$$(x - 4)(x + 1) = 546$$

展開すると、

$$x^2 - 3x - 4 = 546$$

$$x^2 - 3x - 550 = 0$$

この2次方程式を解く。

$$(x - 25)(x + 22) = 0$$

$x = 25$ または $x = -22$

$x$は長さを表すので、$x > 0$より、$x = 25$となる。

したがって、縦の長さは25cm、横の長さは$25 + 5 = 30$ cmとなる。

3. 最終的な答え

縦の長さ: 25 cm

横の長さ: 30 cm