与えられた式 $(x+y)^2(x-y)^2$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y)^2(x-y)^2$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x+y)^2$ と $(x-y)^2$ をそれぞれ展開する。

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

次に、これらの結果を掛け合わせる。

$(x^2 + 2xy + y^2)(x^2 - 2xy + y^2)$

ここで、$A = x^2 + y^2$ とすると、この式は $(A + 2xy)(A - 2xy)$ と書ける。これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の形であるから、

$(A + 2xy)(A - 2xy) = A^2 - (2xy)^2$

$A^2 = (x^2 + y^2)^2 = (x^2)^2 + 2x^2y^2 + (y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$

$(2xy)^2 = 4x^2y^2$

したがって、

$A^2 - (2xy)^2 = (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - 4x^2y^2 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4$

これはさらに $(x^2 - y^2)^2$ と書ける。

または、 $(x^2-y^2)^2 = (x^2)^2 - 2x^2y^2 + (y^2)^2 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4$

別の解法として、

$(x+y)^2(x-y)^2 = ((x+y)(x-y))^2 = (x^2 - y^2)^2 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4$

3. 最終的な答え

$x^4 - 2x^2y^2 + y^4$