与えられた式 $\sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{(a-3)^2}$ を、次の３つの$a$の範囲について簡単にせよ。 (1) $a \geq 3$ (2) $1 \leq a < 3$ (3) $a < 1$

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{(a-3)^2}$ を、次の３つの$a$の範囲について簡単にせよ。

(1) $a \geq 3$

(2) $1 \leq a < 3$

(3) $a < 1$

2. 解き方の手順

$\sqrt{x^2}=|x|$ であることを利用する。

(1) $a \geq 3$ のとき

$a-1 \geq 2 > 0$ かつ $a-3 \geq 0$ であるから、

$\sqrt{(a-1)^2} = |a-1| = a-1$

$\sqrt{(a-3)^2} = |a-3| = a-3$

したがって、

$\sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{(a-3)^2} = (a-1) + (a-3) = 2a - 4$

(2) $1 \leq a < 3$ のとき

$a-1 \geq 0$ かつ $a-3 < 0$ であるから、

$\sqrt{(a-1)^2} = |a-1| = a-1$

$\sqrt{(a-3)^2} = |a-3| = -(a-3) = 3-a$

したがって、

$\sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{(a-3)^2} = (a-1) + (3-a) = 2$

(3) $a < 1$ のとき

$a-1 < 0$ かつ $a-3 < -2 < 0$ であるから、

$\sqrt{(a-1)^2} = |a-1| = -(a-1) = 1-a$

$\sqrt{(a-3)^2} = |a-3| = -(a-3) = 3-a$

したがって、

$\sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{(a-3)^2} = (1-a) + (3-a) = 4 - 2a$

3. 最終的な答え

(1) $2a-4$

(2) $2$

(3) $4-2a$