1から5までの数字が書かれたカードがそれぞれ3枚ずつ、合計15枚ある。この15枚のカードから同時に2枚引くとき、以下の確率を求めよ。 (1) 1枚だけが奇数である確率 (2) 少なくとも1枚が奇数である確率

1. 問題の内容

1から5までの数字が書かれたカードがそれぞれ3枚ずつ、合計15枚ある。この15枚のカードから同時に2枚引くとき、以下の確率を求めよ。

(1) 1枚だけが奇数である確率

(2) 少なくとも1枚が奇数である確率

2. 解き方の手順

(1) 1枚だけが奇数である確率

まず、15枚のカードから2枚を引く組み合わせの総数を求める。これは $_{15}C_2$ で計算できる。

$_{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$

次に、1枚が奇数で、もう1枚が偶数である組み合わせの数を求める。

奇数は1, 3, 5の3種類があり、それぞれ3枚ずつなので、奇数のカードは9枚。

偶数は2, 4の2種類があり、それぞれ3枚ずつなので、偶数のカードは6枚。

よって、奇数1枚、偶数1枚の組み合わせは $9 \times 6 = 54$ 通り。

したがって、1枚だけが奇数である確率は $\frac{54}{105} = \frac{18}{35}$。

(2) 少なくとも1枚が奇数である確率

少なくとも1枚が奇数である確率は、1 - (2枚とも偶数である確率) で求めることができる。

2枚とも偶数である組み合わせの数は $_{6}C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り。

2枚とも偶数である確率は $\frac{15}{105} = \frac{1}{7}$。

したがって、少なくとも1枚が奇数である確率は $1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7} = \frac{90}{105}$。

また、少なくとも1枚が奇数である確率は、

(奇数1枚、偶数1枚) + (奇数2枚) の確率を計算することでも求められる。

奇数2枚の組み合わせは $_{9}C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ 通り。

$\frac{54+36}{105} = \frac{90}{105} = \frac{6}{7}$

3. 最終的な答え

(1) 1枚だけ奇数である確率は $\frac{18}{35}$

(2) 少なくとも1枚が奇数である確率は $\frac{6}{7}$