与えられた式 $x^2 + 5xy + 6y^2 + x - y - 12$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 5xy + 6y^2 + x - y - 12$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 5xy + 6y^2$の部分を因数分解します。これは、$x$の2次式と見て、$x^2 + (5y)x + 6y^2$という形と見なせます。和が$5y$, 積が$6y^2$となる2つの項は、$2y$と$3y$なので、

$$x^2 + 5xy + 6y^2 = (x+2y)(x+3y)$$

となります。次に与えられた式全体を因数分解できる形$(x+2y+a)(x+3y+b)$と仮定します。展開すると、

$$(x+2y+a)(x+3y+b) = x^2 + 3xy + bx + 2xy + 6y^2 + 2by + ax + 3ay + ab$$

$$= x^2 + 5xy + 6y^2 + (a+b)x + (3a+2b)y + ab$$

元の式と比較すると、

$$a+b = 1$$

$$3a+2b = -1$$

$$ab = -12$$

という連立方程式が得られます。最初の2式から$a$と$b$を求めます。$a+b=1$より$b=1-a$なので、$3a+2(1-a)=-1$。つまり、$3a+2-2a = -1$なので、$a = -3$。すると、$b=1-a=1-(-3)=4$。

$ab = (-3)(4) = -12$なので、これは条件を満たします。

したがって、$x^2 + 5xy + 6y^2 + x - y - 12 = (x+2y-3)(x+3y+4)$となります。

3. 最終的な答え

$(x+2y-3)(x+3y+4)$