2次関数 $y = x^2 - 8x + 3$ の、$3 \le x \le 5$ における最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 8x + 3$ の、$3 \le x \le 5$ における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 8x + 3 = (x - 4)^2 - 16 + 3 = (x - 4)^2 - 13$

この2次関数のグラフは、頂点が $(4, -13)$ の下に凸な放物線である。

定義域は $3 \le x \le 5$ であるので、頂点の $x$ 座標 $x=4$ は定義域に含まれる。

したがって、$x=4$ のとき最小値をとる。最小値は $y = (4 - 4)^2 - 13 = -13$。

次に最大値を求める。定義域の端点である $x=3$ と $x=5$ のときの $y$ の値を比較する。

$x=3$ のとき $y = (3 - 4)^2 - 13 = 1 - 13 = -12$。

$x=5$ のとき $y = (5 - 4)^2 - 13 = 1 - 13 = -12$。

したがって、$x=3$ および $x=5$ のとき最大値をとる。最大値は $y = -12$。

3. 最終的な答え

最大値: -12 ($x=3, 5$ のとき)

最小値: -13 ($x=4$ のとき)