$(3x + y)^7$ の展開式における $x^3y^4$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(3x + y)^7$ の展開式における $x^3y^4$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開式の一般項を考えます。

二項定理より、$(a+b)^n$ の展開式における一般項は、

${}_nC_r a^{n-r} b^r$ で表されます。

今回の問題では、$a = 3x$, $b = y$, $n = 7$ です。したがって、$(3x + y)^7$ の展開式における一般項は、

${}_7C_r (3x)^{7-r} y^r$

となります。

$x^3y^4$ の項の係数を求めたいので、$x$ の指数が3、$y$ の指数が4となるような $r$ の値を求めます。

$y$ の指数が4であることから、$r = 4$ となります。

このとき、$x$ の指数は $7 - r = 7 - 4 = 3$ となり、$x^3$ となります。

したがって、$x^3y^4$ の項は、

${}_7C_4 (3x)^3 y^4$

となります。

${}_7C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

$(3x)^3 = 3^3 x^3 = 27x^3$

よって、$x^3y^4$ の項は、

$35 \times 27x^3 y^4 = 945x^3y^4$

となり、その係数は945です。

3. 最終的な答え

945