$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$ のとき、$(\tan\alpha + 1)(\tan\beta + 1)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$ のとき、$(\tan\alpha + 1)(\tan\beta + 1)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$ の両辺のタンジェントを取ります。

$$\tan(\alpha + \beta) = \tan\frac{\pi}{4}$$

タンジェントの加法定理を用いると、

$$\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} = 1$$

分母を払うと、

$$\tan\alpha + \tan\beta = 1 - \tan\alpha\tan\beta$$

移項して、

$$\tan\alpha + \tan\beta + \tan\alpha\tan\beta = 1$$

ここで、求めたい式 $(\tan\alpha + 1)(\tan\beta + 1)$ を展開します。

$$(\tan\alpha + 1)(\tan\beta + 1) = \tan\alpha\tan\beta + \tan\alpha + \tan\beta + 1$$

先ほど求めた $\tan\alpha + \tan\beta + \tan\alpha\tan\beta = 1$ を代入すると、

$$(\tan\alpha + 1)(\tan\beta + 1) = 1 + 1$$

$$(\tan\alpha + 1)(\tan\beta + 1) = 2$$

3. 最終的な答え

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