$\frac{2}{3 - \sqrt{8}}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求めよ。 (1) $a, b$ の値を求めよ。 (2) $b^2 + 10b$ の値を求めよ。 (3) $\frac{2}{b+3} + \frac{2}{b+7}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{2}{3 - \sqrt{8}}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求めよ。

(1) $a, b$ の値を求めよ。

(2) $b^2 + 10b$ の値を求めよ。

(3) $\frac{2}{b+3} + \frac{2}{b+7}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず $\frac{2}{3 - \sqrt{8}}$ を有理化する。

$\frac{2}{3 - \sqrt{8}} = \frac{2(3 + \sqrt{8})}{(3 - \sqrt{8})(3 + \sqrt{8})} = \frac{2(3 + 2\sqrt{2})}{9 - 8} = 2(3 + 2\sqrt{2}) = 6 + 4\sqrt{2}$.

$\sqrt{2} \approx 1.414$ より、 $4\sqrt{2} \approx 4 \times 1.414 = 5.656$ である。

よって、 $6 + 4\sqrt{2} \approx 6 + 5.656 = 11.656$ となる。

厳密に評価するには、 $1 < \sqrt{2} < 2$ より、 $4 < 4\sqrt{2} < 8$ である。

さらに、$1.4 < \sqrt{2} < 1.5$ より、$5.6 < 4\sqrt{2} < 6$ である。

$1.41 < \sqrt{2} < 1.42$ より、$5.64 < 4\sqrt{2} < 5.68$ である。

より正確には、 $\sqrt{2}$ が約 1.414 であるから、$4\sqrt{2}$ は約 $5.656$ である。

したがって、$6 + 4\sqrt{2}$ は約 $11.656$ である。

整数部分 $a$ は 11 である。

小数部分 $b$ は、 $6 + 4\sqrt{2} - 11 = 4\sqrt{2} - 5$ である。

(2) $b^2 + 10b$ を計算する。

$b = 4\sqrt{2} - 5$ を代入する。

$b^2 + 10b = (4\sqrt{2} - 5)^2 + 10(4\sqrt{2} - 5) = (32 - 40\sqrt{2} + 25) + (40\sqrt{2} - 50) = 57 - 40\sqrt{2} + 40\sqrt{2} - 50 = 7$.

(3) $\frac{2}{b+3} + \frac{2}{b+7}$ を計算する。

$b = 4\sqrt{2} - 5$ を代入する。

$\frac{2}{b+3} + \frac{2}{b+7} = \frac{2}{4\sqrt{2} - 5 + 3} + \frac{2}{4\sqrt{2} - 5 + 7} = \frac{2}{4\sqrt{2} - 2} + \frac{2}{4\sqrt{2} + 2} = \frac{1}{2\sqrt{2} - 1} + \frac{1}{2\sqrt{2} + 1} = \frac{2\sqrt{2} + 1 + 2\sqrt{2} - 1}{(2\sqrt{2} - 1)(2\sqrt{2} + 1)} = \frac{4\sqrt{2}}{8 - 1} = \frac{4\sqrt{2}}{7}$.

1. 最終的な答え

(1) $a = 11$, $b = 4\sqrt{2} - 5$

(2) $b^2 + 10b = 7$

(3) $\frac{2}{b+3} + \frac{2}{b+7} = \frac{4\sqrt{2}}{7}$