ベクトル $\vec{p}=(5, 1)$, $\vec{q}=(-3, 2)$, $\vec{r}=(1, -1)$ が与えられている。 (1) $\vec{p} + t\vec{q}$ と $\vec{r}$ が平行となるような実数 $t$ の値を求める。 (2) $|\vec{p} + t\vec{q}|$ の最小値と、そのときの $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{p}=(5, 1)$, $\vec{q}=(-3, 2)$, $\vec{r}=(1, -1)$ が与えられている。

(1) $\vec{p} + t\vec{q}$ と $\vec{r}$ が平行となるような実数 $t$ の値を求める。

(2) $|\vec{p} + t\vec{q}|$ の最小値と、そのときの $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{p} + t\vec{q}$ と $\vec{r}$ が平行であるとき、ある実数 $k$ を用いて $\vec{p} + t\vec{q} = k\vec{r}$ と表せる。

$\vec{p} + t\vec{q} = (5, 1) + t(-3, 2) = (5-3t, 1+2t)$

よって、$(5-3t, 1+2t) = k(1, -1) = (k, -k)$

これから、$5-3t = k$ と $1+2t = -k$ が得られる。

2つの式を足し合わせると、

$5-3t + 1+2t = k - k = 0$

$6-t = 0$

$t = 6$

(2) $|\vec{p} + t\vec{q}|^2$ を最小化することを考える。

$|\vec{p} + t\vec{q}|^2 = (5-3t)^2 + (1+2t)^2 = 25 - 30t + 9t^2 + 1 + 4t + 4t^2 = 13t^2 - 26t + 26$

$= 13(t^2 - 2t) + 26 = 13(t^2 - 2t + 1 - 1) + 26 = 13(t-1)^2 - 13 + 26 = 13(t-1)^2 + 13$

これは $t=1$ のとき最小値 $13$ をとる。

よって、 $|\vec{p} + t\vec{q}|$ の最小値は $\sqrt{13}$ であり、そのときの $t$ の値は $1$ である。

3. 最終的な答え

(1) $t = 6$

(2) 最小値: $\sqrt{13}$, $t = 1$