与えられた2つの式を因数分解します。 (1) $a^3 - b^3 - c^3 - 3abc$ (2) $a^3 + 6ab - 8b^3 + 1$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解します。

(1) $a^3 - b^3 - c^3 - 3abc$

(2) $a^3 + 6ab - 8b^3 + 1$

2. 解き方の手順

(1) $a^3 - b^3 - c^3 - 3abc$の因数分解

この式を因数分解するには、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$という公式を利用することを考えます。

与えられた式は、$a^3 + (-b)^3 + (-c)^3 - 3a(-b)(-c)$と変形できます。

したがって、$a^3 - b^3 - c^3 - 3abc = (a-b-c)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac - bc)$となります。

(2) $a^3 + 6ab - 8b^3 + 1$の因数分解

この式を因数分解するには、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$を利用することを考えます。

$a^3 + 1 - 8b^3 + 6ab = a^3 + 1^3 + (-2b)^3 - 3(a)(1)(-2b)$

$a^3 + 1^3 + (-2b)^3 - 3(a)(1)(-2b) = (a + 1 - 2b)(a^2 + 1^2 + (-2b)^2 - a(1) - (1)(-2b) - a(-2b))$

$= (a - 2b + 1)(a^2 + 1 + 4b^2 - a + 2b + 2ab)$

$= (a - 2b + 1)(a^2 + 4b^2 + 2ab - a + 2b + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $a^3 - b^3 - c^3 - 3abc = (a-b-c)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac - bc)$

(2) $a^3 + 6ab - 8b^3 + 1 = (a - 2b + 1)(a^2 + 4b^2 + 2ab - a + 2b + 1)$