与えられた式 $3x^2 + 5xy - 2y^2 - x + 5y - 2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $3x^2 + 5xy - 2y^2 - x + 5y - 2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$3x^2 + (5y - 1)x - (2y^2 - 5y + 2)$

次に、定数項を因数分解します。

$2y^2 - 5y + 2 = (2y - 1)(y - 2)$

したがって、与式は

$3x^2 + (5y - 1)x - (2y - 1)(y - 2)$

因数分解の形を $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ と推測します。

$3x^2$ の項から、$a$ と $d$ はそれぞれ $3$ と $1$ となり得ることがわかります。

$(3x + ay + b)(x + cy + d)$

定数項から $bd = - (2y - 1)(y - 2)$ である必要があります。

$x$の係数 $5y-1$ および定数項 $-(2y^2-5y+2)$ を考慮して、いくつかの試行錯誤の後、次のようになります。

$(3x - y + 2)(x + 2y - 1)$

この展開を確かめます。

$(3x - y + 2)(x + 2y - 1) = 3x^2 + 6xy - 3x - xy - 2y^2 + y + 2x + 4y - 2 = 3x^2 + 5xy - x - 2y^2 + 5y - 2$

元の式と一致します。

3. 最終的な答え

$(3x - y + 2)(x + 2y - 1)$