次の二つの問題を解く。 (1) 絶対値を含む方程式 $|\frac{1}{2}x - 1| = 2x - 1$ を解く。 (2) 絶対値を含む不等式 $10 - 9|x| < 6 - x$ を解く。

1. 問題の内容

次の二つの問題を解く。

(1) 絶対値を含む方程式 $|\frac{1}{2}x - 1| = 2x - 1$ を解く。

(2) 絶対値を含む不等式 $10 - 9|x| < 6 - x$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) $|\frac{1}{2}x - 1| = 2x - 1$ を解く。

絶対値記号を外すために、場合分けを行う。

(i) $\frac{1}{2}x - 1 \geq 0$ つまり $x \geq 2$ のとき、$\frac{1}{2}x - 1 = 2x - 1$ となる。

$\frac{1}{2}x - 1 = 2x - 1$

$\frac{3}{2}x = 0$

$x = 0$

しかし、$x \geq 2$ を満たさないため、これは解ではない。

(ii) $\frac{1}{2}x - 1 < 0$ つまり $x < 2$ のとき、$-\frac{1}{2}x + 1 = 2x - 1$ となる。

$-\frac{1}{2}x + 1 = 2x - 1$

$\frac{5}{2}x = 2$

$x = \frac{4}{5}$

これは、$x < 2$ を満たすため、解である。

(2) $10 - 9|x| < 6 - x$ を解く。

絶対値記号を外すために、場合分けを行う。

(i) $x \geq 0$ のとき、$10 - 9x < 6 - x$ となる。

$10 - 9x < 6 - x$

$4 < 8x$

$x > \frac{1}{2}$

$x \geq 0$ と $x > \frac{1}{2}$ を満たすのは、$x > \frac{1}{2}$ である。

(ii) $x < 0$ のとき、$10 + 9x < 6 - x$ となる。

$10 + 9x < 6 - x$

$10x < -4$

$x < -\frac{2}{5}$

$x < 0$ と $x < -\frac{2}{5}$ を満たすのは、$x < -\frac{2}{5}$ である。

よって、$x > \frac{1}{2}$ または $x < -\frac{2}{5}$ が解となる。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{4}{5}$

(2) $x < -\frac{2}{5}$ または $x > \frac{1}{2}$