与えられた条件を満たす実数 $k$ の値の範囲を求める問題です。 (1) 全ての実数 $x$ に対して、不等式 $kx^2 - kx + 2 > 0$ が成り立つような $k$ の範囲を求めます。 (2) ある実数 $x$ に対して、不等式 $x^2 - 2x + 9 < kx$ が成り立つような $k$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす実数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

(1) 全ての実数 $x$ に対して、不等式 $kx^2 - kx + 2 > 0$ が成り立つような $k$ の範囲を求めます。

(2) ある実数 $x$ に対して、不等式 $x^2 - 2x + 9 < kx$ が成り立つような $k$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$k=0$ の場合を考えます。$0x^2 - 0x + 2 > 0$ より、$2 > 0$ となり、これは常に成り立つので、$k=0$ は条件を満たします。

次に、$k \neq 0$ の場合を考えます。不等式 $kx^2 - kx + 2 > 0$ が全ての実数 $x$ に対して成り立つためには、

\begin{itemize}

\item $k>0$ (下に凸)

\item 判別式 $D = (-k)^2 - 4(k)(2) < 0$

\end{itemize}

が必要です。

$D = k^2 - 8k < 0$ より、$k(k-8) < 0$ となるので、$0 < k < 8$。

$k>0$ も考慮すると、$0 < k < 8$。

$k=0$の場合も考慮すると、$0 \le k < 8$。

(2)

不等式 $x^2 - 2x + 9 < kx$ を変形すると、$x^2 - (2+k)x + 9 < 0$ となります。

ある実数 $x$ に対してこの不等式が成り立つためには、$f(x) = x^2 - (2+k)x + 9$ とおくと、$y=f(x)$ のグラフが $x$ 軸より下になる部分が存在すれば良いので、判別式 $D = (2+k)^2 - 4(1)(9) > 0$ となれば良い。

$D = (k+2)^2 - 36 > 0$ より、$(k+2)^2 > 36$。

よって、$k+2 > 6$ または $k+2 < -6$。

したがって、$k > 4$ または $k < -8$。

3. 最終的な答え

(1) $0 \le k < 8$

(2) $k < -8$ または $4 < k$